Invariant polynomial de nœuds

Dans le domaine mathématique de la théorie des nœuds, un invariant polynomial de nœuds ou, plus simplement, un polynôme de nœuds est un invariant de nœuds qui est un polynôme dont les coefficients encodent certaines des propriétés d'un nœud donné.

Le premier polynôme de nœuds, le polynôme d'Alexander, a été introduit par James Waddell Alexander II en 1923. Par la suite, aucun nouveau polynôme de nœuds n'a été découvert pendant près de soixante ans.

Dans les années 1960, John Conway a établi une relation d'écheveau (en) permettant de calculer une variante du polynôme d'Alexander, généralement appelée polynôme d'Alexander-Conway. L'importance de cette relation d'écheveau n'a été comprise qu'au début des années 1980, lorsque Vaughan Jones a découvert le polynôme de Jones. Ce nouveau développement a permis la découverte d'autres polynômes de nœuds, tels que le polynôme HOMFLY (en).

Peu après la découverte de Jones, Louis Kauffman a remarqué que le polynôme de Jones pouvait être calculé au moyen d'une fonction de partition (une somme sur les états d'un modèle de physique statistique), faisant intervenir le polynôme crochet (en), un invariant des nœuds enrubannés (en). Cela a permis d'établir des connexions profondes entre théorie des nœuds et mécanique statistique.

La fin des années 1980 a été marquée par deux avancées majeures. Edward Witten a démontré que le polynôme de Jones, de même que les invariants similaires, pouvaient être interprétés dans le cadre de la théorie de Chern-Simons. Viktor Vassiliev et Mikhail Goussarov ont mis en place la théorie des invariants de type fini (en) des nœuds. On sait que les coefficients des polynômes mentionnés ci-dessus sont de type fini (quitte à faire auparavant un changement de variables convenable).

Il a été récemment démontré que le polynôme d'Alexander est lié à l'homologie de Floer. En effet, celui-ci apparaît comme la caractéristique d'Euler graduée de la version de l'homologie de Floer des nœuds développée par Peter Ozsváth et Zoltan Szabó.

Notation d'Alexander-Briggs	Polynôme d'Alexander ${\displaystyle \Delta (t)}$	Polynôme de Conway ${\displaystyle \nabla (z)}$	Polynôme de Jones ${\displaystyle V(q)}$	Polynôme HOMFLY ${\displaystyle H(a,z)}$
${\displaystyle 0_{1}}$ (Nœud trivial)	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle 3_{1}}$ (Nœud de trèfle)	${\displaystyle t-1+t^{-1}}$	${\displaystyle z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}}$	${\displaystyle -a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}}$
${\displaystyle 4_{1}}$ (Nœud en huit)	${\displaystyle -t+3-t^{-1}}$	${\displaystyle -z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{2}-q+1-q^{-1}+q^{-2}}$	${\displaystyle a^{2}+a^{-2}-z^{2}-1}$
${\displaystyle 5_{1}}$ (Nœud pentacle)	${\displaystyle t^{2}-t+1-t^{-1}+t^{-2}}$	${\displaystyle z^{4}+3z^{2}+1}$	${\displaystyle q^{-2}+q^{-4}-q^{-5}+q^{-6}-q^{-7}}$	${\displaystyle -a^{6}z^{2}-2a^{6}+a^{4}z^{4}+4a^{4}z^{2}+3a^{4}}$
${\displaystyle 3_{1}\#3_{1}}$ (Nœud de vache)	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)^{2}}$
${\displaystyle 3_{1}\#3_{1}^{*}}$ (Nœud plat)	${\displaystyle \left(t-1+t^{-1}\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(z^{2}+1\right)^{2}}$	${\displaystyle \left(q^{-1}+q^{-3}-q^{-4}\right)\left(q+q^{3}-q^{4}\right)}$	${\displaystyle \left(-a^{4}+a^{2}z^{2}+2a^{2}\right)\times }$ ${\displaystyle \left(-a^{-4}+a^{-2}z^{-2}+2a^{-2}\right)}$

La notation d'Alexander-Briggs est une énumération des nœuds les plus simples selon leur nombre de croisements.

Les polynômes d'Alexander et de Conway ne distinguent pas le nœud de trèfle gauche et le nœud de trèfle droit, alors que le polynôme de Jones peut le faire.

• 
  Nœud de trèfle gauche.
• 
  Nœud de trèfle droit.

La même situation se produit avec le nœud de vache et le nœud plat, puisque l'invariant polynomial de la somme connexe de deux nœuds dans ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ est le produit des polynômes des nœuds.

• Polynôme d'Alexander (et sa variante, le polynôme d'Alexander-Conway)
• Polynôme crochet (en)
• Polynôme HOMFLY (en)
• Polynôme de Jones
• Polynôme de Kauffman (en)

• Polynôme de graphes (en), une classe similaire d'invariants polynomiaux en théorie des graphes
• Polynôme de Tutte, un type particulier de polynôme de graphes lié au polynôme de Jones
• Relation d'écheveau (en) pour une définition formelle du polynôme d'Alexander, avec un exemple détaillé.

• Colin Adams, The Knot Book, American Mathematical Society (ISBN 0-8050-7380-9)
• W. B. R. Lickorish, An Introduction to Knot Theory, New York, Springer-Verlag, coll. « Graduate Texts in Mathematics » (n^o 175), 1997 (ISBN 0-387-98254-X)

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