Cardioide

La coordinata polare radiale ${\displaystyle \rho (\theta )}$ è data da:

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (\theta )&={\sqrt {x^{2}(\theta )+y^{2}(\theta )}}\\&=r{\sqrt {{(1-2\cos \theta +\cos 2\theta )}^{2}+(2\sin \theta -\sin 2\theta )^{2}}}\\&=r{\sqrt {1+4\cos ^{2}\theta +\cos ^{2}2\theta -4\cos \theta +2\cos 2\theta -4\cos \theta \cos 2\theta +4\sin ^{2}\theta +\sin ^{2}2\theta -4\sin \theta \sin 2\theta }}\\&=r{\sqrt {1+4(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )+(\sin ^{2}2\theta +\cos ^{2}2\theta )-4(\cos \theta \cos 2\theta +\sin \theta \sin 2\theta )-4\cos \theta +2\cos 2\theta }}.\end{aligned}}}$

Ora si può semplificare applicando la relazione trigonometrica fondamentale:

${\displaystyle \cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta =1,}$

${\displaystyle \cos ^{2}2\theta +\sin ^{2}2\theta =1,}$

e la formula di sottrazione del coseno:

${\displaystyle \cos \theta \cos 2\theta +\sin \theta \sin 2\theta =\cos(\theta -2\theta )=\cos(-\theta )=\cos \theta .}$

Quindi

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r{\sqrt {1+4+1-4\cos \theta -4\cos \theta +2\cos 2\theta }}\\&=r{\sqrt {6-8\cos \theta +2\cos 2\theta }}\\&=r{\sqrt {2(3-4\cos \theta +\cos 2\theta )}}.\end{aligned}}}$

A questo punto, grazie alla formula di duplicazione del coseno:

${\displaystyle \cos 2\theta =\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1,}$

segue che

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r{\sqrt {2(3-4\cos \theta +2\cos ^{2}\theta -1)}}\\&=r{\sqrt {2(2-4\cos \theta +2\cos ^{2}\theta )}}\\&=r{\sqrt {4(1-2\cos \theta +\cos ^{2}\theta )}}\\&=2r(1-\cos \theta ).\end{aligned}}}$

Usando l'equazione polare della cardioide, ogni punto che appartiene alla curva ha coordinate:

${\displaystyle {\begin{cases}x(\theta )=\rho (\theta )\cos \theta \\y(\theta )=\rho (\theta )\sin \theta .\end{cases}}}$

La lunghezza della cardioide è quindi calcolabile con:

${\displaystyle L=\int _{0}^{2\pi }{\bigl \|}{\dot {\gamma }}(\theta ){\bigr \|}\,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}}}\,\mathrm {d} \theta .}$

Inserendo le equazioni nell'integrale e ricordando le formule di bisezione si ottiene:

${\displaystyle L=2r\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {2(1-\cos \theta )}}\,\mathrm {d} \theta =4r\int _{0}^{2\pi }\left|\sin {\frac {\theta }{2}}\right|\mathrm {d} \theta =8r{\left[-\cos {\frac {\theta }{2}}\right]}_{0}^{2\pi }=16r.}$

La lunghezza della cardioide è quindi ${\displaystyle 16r}$.

L'area della cardioide si può calcolare direttamente in coordinate polari, ricordando che:

${\displaystyle \iint \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\iint \varrho \,\mathrm {d} \varrho \,\mathrm {d} \theta .}$

Si ha allora:

${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\pi }{\rho (\theta )}^{2}\,\mathrm {d} \theta =2r^{2}\int _{0}^{2\pi }(1-\cos \theta )^{2}\,\mathrm {d} \theta =2r^{2}{\left[{\frac {3}{2}}\theta -2\sin \theta +{\frac {1}{4}}\sin 2\theta \right]}_{0}^{2\pi }=2r^{2}\cdot 3\pi =6\pi r^{2}.}$

L'area della cardioide è ${\displaystyle 6\pi r^{2}}$, ossia 6 volte l'area dei cerchi di riferimento.

Il baricentro ${\displaystyle G}$ di una cardioide uniforme ha, per ragioni di simmetria, ordinata nulla. Per l'ascissa:

${\displaystyle Ax_{G}=\iint x\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y,}$

dove ${\displaystyle A}$ è l'area della cardioide. In coordinate polari si ha quindi:

${\displaystyle Ax_{G}=\iint \varrho ^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \varrho \,\mathrm {d} \theta =\int _{0}^{2\pi }\left(\int _{0}^{\rho (\theta )}\varrho ^{2}\mathrm {d} \varrho \right)\cos \theta \,\mathrm {d} \theta ={\frac {1}{3}}\int _{0}^{2\pi }{\rho (\theta )}^{3}\cos \theta \,\mathrm {d} \theta =\ldots =-10\pi r^{3},}$

dove abbiamo sfruttato il teorema di Fubini, essendo la superficie da essa racchiusa un dominio normale rispetto a ${\displaystyle \theta }$. In conclusione, si ricava ${\displaystyle x_{G}=-{\frac {5}{3}}r}$.

Il baricentro della cardioide ha quindi coordinate:

${\displaystyle G=(x_{G};y_{G})=\left(-{\frac {5}{3}}r;0\right).}$

Integrando in coordinate sferiche, si ha:

${\displaystyle \iiint \mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z=\iiint \varrho ^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varrho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi ,}$

dove ${\displaystyle \phi }$ è l'angolo longitudine che misura l'ampiezza della rotazione. Se la rotazione è completa, ${\displaystyle \phi }$ varia tra ${\displaystyle 0}$ e ${\displaystyle 2\pi }$. Si supponga di far ruotare la cardioide attorno al suo asse di un angolo ${\displaystyle \alpha }$. Si ha:

${\displaystyle V=\iiint \varrho ^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varrho \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \phi =\int _{0}^{\alpha }\mathrm {d} \phi \int _{0}^{\pi }\left(\int _{0}^{\rho (\theta )}\varrho ^{2}\,\mathrm {d} \varrho \right)\sin \theta \,\mathrm {d} \theta =\alpha {\frac {1}{3}}\int _{0}^{\pi }{\rho (\theta )}^{3}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta =\ldots ={\frac {32}{3}}\alpha r^{3}.}$

Quindi, se la rotazione è completa (${\displaystyle \alpha =2\pi }$), il volume del solido di rotazione che si ottiene vale ${\displaystyle {\frac {64}{3}}\pi r^{3}.}$