Funkcja modularna Webera

Funkcje modularne Webera – rodzina funkcji zespolonych zdefiniowanych przez Heinricha Webera.

Niech ${\displaystyle \eta }$ oznacza funkcję modularną Dedekinda, zaś ${\displaystyle \zeta _{48}}$ oznacza pierwiastek jedności 48. stopnia. Funkcje Webera definiujemy w sposób następujący:

${\displaystyle f(\tau )={\frac {\eta ({\frac {1}{2}}(\tau +1))}{\zeta _{48}\eta (\tau )}}}$

${\displaystyle f_{1}(\tau )={\frac {\eta ({\frac {1}{2}}\tau )}{\eta (\tau )}}}$

${\displaystyle f_{2}(\tau )={\sqrt {2}}{\frac {\eta (2\tau )}{\eta (\tau )}}}$

${\displaystyle \gamma _{2}(\tau )={\frac {f^{24}(\tau )-16}{f^{8}(\tau )}}}$

${\displaystyle \gamma _{3}(\tau )={\frac {[f^{24}(\tau )+8][f_{1}^{8}(\tau )-f_{2}^{8}(\tau )]}{f^{8}(\tau )}}}$

Funkcje Webera są wykorzystywane w praktyce m.in. we współczesnych wersjach algorytmu ECPP służącego do dowodzenia pierwszości liczb.

• Weber, H. Lehrbuch der Algebra, Vols. I-II. New York: Chelsea, pp. 113-114, 1902
• Atkin, A. O. L. and Morain, F. Elliptic Curves and Primality Proving. Math. Comput. 61, 29-68, 1993

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Weber Functions, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-07-17].