Funkcja błędu

Funkcja błędu (funkcja błędu Gaussa) - funkcja nieelementarna oznaczana symbolem ${\displaystyle \operatorname {erf} }$, zdefiniowana za pomocą całki

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}$

Funkcja błędu występuje w rachunku prawdopodobieństwa, statystyce oraz w teorii równań różniczkowych cząstkowych.

Definiuje się zespoloną funkcję błędu ${\displaystyle w(x),}$ nazywaną także funkcją Faddiejewej:

${\displaystyle w(x)=e^{-x^{2}}[1-\operatorname {erf} (-ix)]}$

Tw. 1 Funkcja błędu jest nieparzysta, tj.

${\displaystyle \operatorname {erf} (-z)=-\operatorname {erf} (z).}$

Tw. 2 Prawdziwa jest zależność

${\displaystyle \operatorname {erf} (z^{*})=[\operatorname {erf} (z)]^{*},}$

gdzie ${\displaystyle z^{*}}$ oznacza sprzężenie zespolone liczby ${\displaystyle z.}$

Czyli: Wartość funkcji błędu obliczonej dla sprzężenia zespolonego ${\displaystyle z^{*}}$ liczby ${\displaystyle z}$ jest równa sprzężeniu zespolonemu wartości tej funkcji obliczonej dla liczby ${\displaystyle z}$.

Tw. 3 (wartości w nieskończonościach)

a). W nieskończonościach na osi rzeczywistej mamy wartości graniczne

${\displaystyle \operatorname {erf} (\pm \infty )=\pm 1}$

b). W nieskończonościach na osi urojonej mamy

${\displaystyle \operatorname {erf} (\pm i\infty )=\pm i\infty }$

Tw. 4 Funkcja błędu jest ściśle związana z rozkładem normalnym Gaussa. Można to zauważyć, wyliczając pochodną i funkcję pierwotną funkcji błędu:

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erf} (z)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}},}$

${\displaystyle F(z)=z\,\operatorname {erf} (z)+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$

(1) Przez zapisanie prawej strony definicji jako szereg Taylora i całkowanie, można dowieść, że

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \ldots \right)\end{aligned}}}$

dla każdego rzeczywistego ${\displaystyle x.}$

(2) Dla ${\displaystyle |x|\ll 1}$ wartość funkcji błędu można wyliczyć z dużą dokładnością z rozwinięcia (ograniczając się do początkowych kilkunastu wyrazów)

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{n}}{(2n+1)!!}}x^{2n+1}\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}\left(x+{\frac {2x^{3}}{1\cdot 3}}+{\frac {4x^{5}}{1\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {8x^{7}}{1\cdot 3\cdot 5\cdot 7}}+\ldots \right),\end{aligned}}}$

gdzie ${\displaystyle k!!}$ oznacza silnię podwójną liczby ${\displaystyle k.}$

(3) Dla ${\displaystyle |x|\gg 1}$ wartość funkcji błędu można wyliczyć z dużą dokładnością z rozwinięcia${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=1-{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n-1)!!}{2^{n}}}x^{-2n-1}\\&=1-{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{2x^{3}}}+{\frac {1\cdot 3}{4x^{5}}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{8x^{7}}}+\ldots \right).\end{aligned}}}$

ograniczając się do początkowych kilkunastu wyrazów

(1) Funkcje błędu można dobrze przybliżyć przez podobnie wyglądające funkcje cyklometryczne i funkcje hiperboliczne typu tangens, tzn. ${\displaystyle \operatorname {arctg} (x)}$ i ${\displaystyle \operatorname {tgh} (x){:}}$

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx {\frac {2}{\pi }}\operatorname {arctg} [2x(1+x^{4})]}$

oraz

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn}(x)\operatorname {tgh} [1{,}152|x|+0{,}064|x|^{4}].}$

Są one więc także odwracalne poprzez rozwiązanie zredukowanego równania czwartego i piątego stopnia.

(2) Także bardzo dokładne i odwracalne przybliżenie funkcji błędu (błąd poniżej 0,00035) można uzyskać poprzez deformacje odjęcia funkcji Gaussa od jedynki:

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn}(x){\sqrt {1-e^{-\alpha (x)x^{2}}}},}$

gdzie:

${\displaystyle \alpha (x)={\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}}$

jest przybliżeniem Padégo rzędu ${\displaystyle (2,2)}$ zmieniającej się szerokości funkcji Gaussa; ${\displaystyle a={\tfrac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0{,}140012}$.

(3) Przybliżenie to można jeszcze poprawić, redukując błąd do ${\displaystyle 1{,}5\times 10^{-5}}$

${\displaystyle \operatorname {erf} (x)\approx \operatorname {sgn}(x)\left[{\sqrt {1-e^{-\alpha (x)x^{2}}}}-0{,}0026P(7{,}13|x|+0{,}0001,\lambda )\right],}$

gdzie ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle (x>0)}$ jest uciąglonym przy pomocy wzoru Stirlinga rozkładem Poissona dla ${\displaystyle \lambda =10{,}2}$

${\displaystyle P(x,\lambda )=e^{-{\lambda }}\lambda ^{x}{\frac {1}{\sqrt {2\pi x}}}\left({\frac {e}{x}}\right)^{x}.}$

Z funkcją błędu związana jest uzupełniająca funkcj błędu ${\displaystyle \operatorname {erfc} {:}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} (x)&\equiv 1-\operatorname {erf} (x)\\&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.\end{aligned}}}$

x	erf(x)	erfc(x)		x	erf(x)	erfc(x)
0,00	0,0000000	1,0000000		1,30	0,9340079	0,0659921
0,05	0,0563720	0,9436280		1,40	0,9522851	0,0477149
0,10	0,1124629	0,8875371		1,50	0,9661051	0,0338949
0,15	0,1679960	0,8320040		1,60	0,9763484	0,0236516
0,20	0,2227026	0,7772974		1,70	0,9837905	0,0162095
0,25	0,2763264	0,7236736		1,80	0,9890905	0,0109095
0,30	0,3286268	0,6713732		1,90	0,9927904	0,0072096
0,35	0,3793821	0,6206179		2,00	0,9953223	0,0046777
0,40	0,4283924	0,5716076		2,10	0,9970205	0,0029795
0,45	0,4754817	0,5245183		2,20	0,9981372	0,0018628
0,50	0,5204999	0,4795001		2,30	0,9988568	0,0011432
0,55	0,5633234	0,4366766		2,40	0,9993115	0,0006885
0,60	0,6038561	0,3961439		2,50	0,9995930	0,0004070
0,65	0,6420293	0,3579707		2,60	0,9997640	0,0002360
0,70	0,6778012	0,3221988		2,70	0,9998657	0,0001343
0,75	0,7111556	0,2888444		2,80	0,9999250	0,0000750
0,80	0,7421010	0,2578990		2,90	0,9999589	0,0000411
0,85	0,7706681	0,2293319		3,00	0,9999779	0,0000221
0,90	0,7969082	0,2030918		3,10	0,9999884	0,0000116
0,95	0,8208908	0,1791092		3,20	0,9999940	0,0000060
1,00	0,8427008	0,1572992		3,30	0,9999969	0,0000031
1,10	0,8802051	0,1197949		3,40	0,9999985	0,0000015
1,20	0,9103140	0,0896860		3,50	0,9999993	0,0000007

• rozkład normalny

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Erf, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-05-31].
• Probability integral (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-05-31].