Granica jednostronna

Granica jednostronna jest wspólną nazwą dla granicy lewostronnej i prawostronnej. Jeżeli granice lewo- i prawostronna istnieją i są sobie równe, to są one granicą obustronną; twierdzenie odwrotne też jest prawdziwe: jeżeli istnieje granica obustronna to obie granice jednostronne istnieją i są jej równe (o ile punkt, w którym obliczamy granice jest odpowiednio lewostronnym lub prawostronnym punktem skupienia dziedziny funkcji).

Definicje

Liczba $g$ jest granicą lewostronną (odpowiednio: prawostronną) funkcji $f$ w lewostronnym (odpowiednio: prawostronnym) punkcie skupienia $x_{0}$ dziedziny, co zapisuje się

f(x)\to g

przy

x\to x_{0}^{-}

(odpowiednio:

f(x)\to g

przy

x\to x_{0}^{+}

)

lub

\lim _{x\to x_{0}^{-}}~f(x)=g

(odpowiednio:

\lim _{x\to x_{0}^{+}}~f(x)=g

),

gdy spełnione są warunki określone w jakiejkolwiek z następujących dwu równoważnych definicji:

definicja Heinego: dla każdego ciągu $(x_{n})$ takiego, że dla dowolnego $n\in \mathbb {N} \ x_{n}\in A,\ x_{n}<x_{0}$ (odpowiednio: $x_{n}>x_{0}$ ) oraz $\lim _{n\to \infty }~x_{n}=x_{0},$ ciąg wartości funkcji $(f(x_{n}))$ dąży do $g$ przy ${\displaystyle n\to \infty$
definicja Cauchy’ego: $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}-\delta <x<x_{0}\implies |f(x)-g|<\varepsilon )$ (odpowiednio: $\forall _{\varepsilon >0}\;\exists _{\delta >0}\;\forall _{x\in A}\;(x_{0}<x<x_{0}+\delta \implies |f(x)-g|<\varepsilon )$ ).