Proces Wienera

Proces Wienera (ruch Browna) – proces stochastyczny z czasem ciągłym nazwany dla uhonorowania osiągnięć Norberta Wienera. Jest też często nazywany ruchem Browna, gdyż jest modelem matematycznym procesu fizycznego o tej nazwie, który po raz pierwszy zaobserwował botanik Robert Brown. Proces Wienera jest najbardziej znanym przykładem procesu gaussowskiego, a ponadto jest szczególnym przypadkiem ogólniejszego procesu Lévy’ego. Proces Wienera nierzadko opisuje zjawiska występujące w ekonomii, finansach czy fizyce.

W matematyce, badania nad procesem Wienera zapoczątkowały rozwój teorii martyngałów z czasem ciągłym. Proces odgrywa kluczową rolę w badaniach bardziej skomplikowanych procesów, np. procesów będących rozwiązaniami stochastycznych równań różniczkowych jak procesy dyfuzji. W matematyce stosowanej procesu Wienera używa się m.in. do wyznaczenia całki stochastycznej z tzw. białego szumu oraz do modelowania innych szumów (zob. szum czerwony).

W fizyce proces Wienera służy do modelowania ruchów cząsteczek w zawiesistej cieczy oraz różnych procesów dyfuzyjnych (zob. równanie Fokkera-Plancka oraz równanie Langevina). Rozwiązanie równania Schrödingera wyraża się poprzez proces Wienera (zob. wzór Feynmana-Kaca). W finansach, procesu Wienera używa się do wyznaczenia modelu Blacka-Scholesa wyceny opcji europejskich.

Proces stochastyczny ${\displaystyle (W_{t})_{t\geqslant 0}}$ na przestrzeni probabilistycznej ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},{\mathsf {P}})}$ nazywa się standardowym procesem Wienera, jeżeli spełnione są następujące warunki:

1. Warunek początkowy

${\displaystyle W_{0}=0}$ prawie na pewno.

2. Niezależne przyrosty

Dla dowolnych chwil ${\displaystyle t_{0}=0\leqslant t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}}$ przyrosty

${\displaystyle W_{t_{1}}-W_{t_{0}},W_{t_{2}}-W_{t_{1}},W_{t_{3}}-W_{t_{2}},\dots ,W_{t_{n}}-W_{t_{n-1}}}$

są niezależnymi zmiennymi losowymi.

3. Stacjonarne przyrosty normalne

Przyrosty procesu Wienera określone dla dwóch dowolnych chwil ${\displaystyle t,t+\Delta t}$, ${\displaystyle t\geqslant 0}$ mają rozkład normalny o średniej ${\displaystyle \mu =0}$ i wariancji ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ równej odległości czasowej rozważanych chwil ${\displaystyle \Delta t}$, tj.

${\displaystyle W_{t+\Delta t}\!-\!W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$ , gdzie ${\displaystyle \sigma ^{2}=\Delta t}$

4. Ciągłość trajektorii

Trajektorie procesu są ciągłe prawie na pewno, tzn. istnieje taki zbiór ${\displaystyle A\in {\mathcal {F}},}$ że ${\displaystyle P(A)=1}$ oraz dla każdego ${\displaystyle \omega \in A}$ funkcja ${\displaystyle t\mapsto W_{t}(\omega )}$ jest ciągła.

Uwagi:

(1) Niektórzy autorzy zakładają, że ${\displaystyle W_{0}(\omega )=0}$ oraz że wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe^[1].

(2) Funkcję ${\displaystyle t\mapsto W_{t}(\omega )}$ nazywamy trajektorią procesu. Jest ona wyznaczona przez element ${\displaystyle \omega \in \Omega }$

przestrzeni zdarzeń elementarnych ${\displaystyle \Omega }$.

(3) Zdefiniowany powyżej proces Wienera nazywa się standardowym. Rozważa się modyfikacje standardowego procesu Wienera poprzez zmianę punktu początkowego ${\displaystyle W_{0}}$ na inny niż zerowy oraz zmianę wariancji przyrostów ${\displaystyle \sigma ^{2}=c\Delta t}$, gdzie ${\displaystyle c}$ - dowolna stała dodatnia. Jeżeli np. proces Wienera opisuje proces dyfuzji, to zwiększenie wariancji będzie odpowiadać większej stałej dyfuzji opisywanego procesu.

Tw. 1 Proces Wienera jest procesem gaussowskim, tj. dla dowolnych chwil ${\displaystyle 0\leqslant t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{k}}$ wektor losowy

${\displaystyle (W_{t_{1}},W_{t_{2}},\dots ,W_{t_{k}})}$

ma (wielowymiarowy) rozkład normalny.

Nie wszystkie procesy gaussowskie są procesami Wienera. Warunki konieczne do tego określa poniższe twierdzenie.

Tw. 2 Proces gaussowski ${\displaystyle (X_{t})_{t\geqslant 0}}$ jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy

a. prawie wszystkie jego trajektorie są ciągłe,

b. ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{t}=0}$ dla wszelkich ${\displaystyle t\geqslant 0}$

c. ${\displaystyle {\mathsf {Cov}}(X_{s},X_{t})=\min\{s,t\}}$ dla wszelkich ${\displaystyle s,t\geqslant 0}$^[2].

Tw. 3 Proces Wienera spełnia powyższe warunki a.-c.

Proces Wienera można scharakteryzować poprzez stacjonarność przyrostów i skończoność czwartych momentów, o czym mówi poniższe twierdzenie.

Tw. 4 Proces stochastyczny ${\displaystyle (X_{t})_{t\geqslant 0}}$ jest procesem Wienera wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia warunki 1., 2. i 4. podane w definicji procesu Wienera oraz

3a. przyrosty procesu ${\displaystyle (X_{t})_{t\geqslant 0}}$ są stacjonarne, tj. dla wszelkich ${\displaystyle 0\leqslant s<t}$ zmienne ${\displaystyle X_{t}-X_{s}}$ oraz ${\displaystyle X_{t-s}-X_{0}}$ mają te same rozkłady,

3b. ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{0}=0,{\mathsf {Var}}\,X_{0}=1,}$

3c. ${\displaystyle {\mathsf {E}}X_{t}^{4}<\infty }$ dla wszelkich ${\displaystyle t>0}$^[2].

Proces Wienera jest jednym z najlepiej zbadanych procesów stochastycznych. Oto niektóre z jego własności:

• Cechy trajektorii – zgodnie z definicją (prawie wszystkie) trajektorie procesu Wienera są ciągłe, ponadto można dowieść, że spełniają one warunek Höldera z dowolnym wykładnikiem mniejszym od ${\displaystyle 1/2}$. Nie przejawiają innych regularności. Dowodzi się, że prawie każda trajektoria ma wahanie nieskończone (na każdym przedziale)^[3], oraz że jest nieróżniczkowalna (w każdym punkcie czasu)^[4].
• Proces Wienera ma mocną własność Markowa.
• Prawo odbicia procesu Wienera – po dojściu do pewnego poziomu trajektoria procesu Wienera z równym prawdopodobieństwem może pójść w dół, jak i do góry. Ściśle, prawo to można opisać za pomocą wzoru

  ${\displaystyle P\left(\sup _{0\leqslant s\leqslant t}W_{s}>a\right)=2P(W_{t}>a)}$

• Prawo iterowanego logarytmu opisuje asymptotyczne zachowanie się trajektorii (dzięki zastosowaniu inwersji możliwe jest też badanie trajektorii w otoczeniu 0).

  ${\displaystyle P\left(\limsup _{t\to +\infty }{\frac {W_{t}}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1\right)=1}$

Nie jest rzeczą oczywistą, że istnieje proces spełniający warunki podane w definicji. Istnieje kilka dowodów tego faktu. Przedstawiony poniżej szkic dowodu najbardziej odpowiada intuicyjnemu rozumieniu procesu jako modelu ruchu Browna. Niech dana będzie cząstka poruszającą się w jednym wymiarze. W każdej jednostce czasu cząstka przemieszcza się o jednostkę odległości albo w lewo albo w prawo z prawdopodobieństwem 1/2. Kierunek poruszania nie zależy od poprzedniego przebiegu ruchu. Odpowiada to sytuacji patrzenia na cząsteczkę w wielkim zbliżeniu i przy zwolnionym czasie. Zakładając, że skoki zachodzą co coraz krótsze skoki czasu i zmniejszając odpowiednio wielkość skoku przestrzennego uzyskujemy obraz cząstki wykonującej ruch coraz bardziej chaotyczny i coraz bardziej gęsty na zadanym odcinku czasu T. Proces Wienera jest „procesem granicznym” dla błądzenia losowego, przy zmniejszaniu skali czasowej i przestrzennej do zera. W sposób ścisły powyższe rozumowanie ujmuje twierdzenie Donskera, które dowodzi, że ruch graniczny ma skończoną wariancję (tzn. jest zbieżny).

W symulacjach numerycznych proces Wienera można aproksymować za pomocą dyskretnych przyrostów o rozkładzie normalnym, zgodnie z definicją tego procesu. Czas ${\displaystyle T}$ symulacji dzieli się na ${\displaystyle n}$ równych kroków o długościach ${\displaystyle \Delta t=T/n}$.

W języku Python (z użyciem biblioteki NumPy) konstrukcja pojedynczej trajektorii może wyglądać następująco:

T = 1.0
n = 50000
dt = T / n
# przyrosty N(0, dt)
dW = np.random.normal(0, np.sqrt(dt), size=n)

# proces Wienera
W = np.concatenate(([0], np.cumsum(dW)))

W 5 linii kodu definiuje się przyrosty procesu jako zmienne losowe o rozkładzie normalnym

${\displaystyle dW_{i}\sim {\mathcal {N}}(0,{\sqrt {\Delta t}})\qquad i=1,2,\dots ,n}$,

gdzie ${\displaystyle \sigma ={\sqrt {\Delta t}}}$ oznacza odchylenie standardowe rozkładu normalnego, co odpowiada własnościom procesu Wienera, iż wariancja ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ na przedziale długości ${\displaystyle \Delta t}$ wynosi ${\displaystyle \Delta t}$. Instrukcja ta tworzy wektor ${\displaystyle [dW_{1},dW_{2},\dots ,dW_{n}]}$.

W 8 linii kodu tworzy się trajektorię procesu poprzez sumowanie kolejnych przyrostów (przesunięć losowych) ${\displaystyle dW_{i}}$, tj. (a) oblicza się wektor ${\displaystyle W=[W_{1},W_{2},\dots ,W_{n}]}$ jako sumę skumulowaną z wektora przyrostów ${\displaystyle [dW_{1},dW_{2},\dots ,dW_{n}]}$ za pomocą instrukcji np.cumsum(dW) (b) dodaje się na początek tego wektora wektor położenia początkowego ${\displaystyle [W_{0}]=[0]}$ za pomocą instrukcji np.concatenate. Odpowiada to obliczeniom:

${\displaystyle W_{0}=0}$

${\displaystyle W_{k}=\sum _{i=1}^{k}dW_{i},\qquad k=1,2,\dots ,n.}$

Wektor ${\displaystyle W}$ stanowi pojedynczą, dyskretną trajektorię ruchu Browna w przedziale czasu ${\displaystyle [0,T]}$, złożoną z losowych położeń cząstki w chwilach czasu ${\displaystyle t_{k}=k\,\cdot \Delta t}$. Trajektoria ta stanowi aproksymację trajektorii Wienera ${\displaystyle W_{t}}$, określonej dla ciągłego czasu ${\displaystyle t\in [0,T].}$

Np. jeżeli dW = np.array([0.12, -0.08, 0.25, ...])

to

np.cumsum(dW) → [0.12, 0.04, 0.29, ...]

np.concatenate(([0], ...)) dodaje wartość początkową W0 = 0→ [0, 0.12, 0.04, 0.29, ...]

Proces Wienera ${\displaystyle (W_{t})_{t\geqslant 0},}$ jak każdy proces stochastyczny, wyznacza miarę ${\displaystyle \mu }$ na przestrzeni ${\displaystyle \mathbb {R} ^{[0,\infty )}}$ z σ-ciałem zbiorów cylindrycznych ${\displaystyle \mathrm {cyl} \,\mathbb {R} ^{[0,\infty )}}$ poprzez warunek

${\displaystyle \mu (C)=P((W_{t})_{t\geqslant 0}\in C)\quad (C\in \mathrm {cyl} \,\mathbb {R} ^{[0,\infty )}).}$

W przypadku, gdy wszystkie trajektorie procesu Wienera są ciągłe (co zawsze można osiągnąć dokonując modyfikacji procesu) miarę ${\displaystyle \mu }$ można wyznaczyć ze wzoru

${\displaystyle \mu (C)=P((W_{t})_{t\geqslant 0}\in C)}$

gdzie ${\displaystyle C}$ jest dowolnym borelowskim podzbiorem przestrzeni ${\displaystyle C[0,\infty )}$ funkcji ciągłych na ${\displaystyle [0,\infty )}$ z topologią zbieżności niemal jednostajnej (tj. zbieżności jednostajnej na zbiorach zwartych). Stąd o procesie Wienera można myśleć jako o pewnym rozkładzie probabilistycznym na przestrzeni ${\displaystyle C[0,\infty )}$^[5].

Standardowy proces Wienera opisany powyżej opisuje błądzenie cząstki, której ruch ograniczony jest do prostej. Proces ${\displaystyle n}$-wymiarowy definiuje się jako proces

${\displaystyle W=(W_{1},W_{2},\dots ,W_{n}),}$

gdzie ${\displaystyle W_{i}}$ to niezależne od siebie jednowymiarowe procesy Wienera. W przypadku jednowymiarowym prawie każda trajektoria przechodzi przez każdy punkt prostej. Dla procesu dwuwymiarowego prawie każda trajektoria jest gęsta na płaszczyźnie, natomiast dla procesów w przestrzeniach o większej liczbie wymiarów, każda trajektoria jest zbiorem nigdziegęstym.

• Błądzenie losowe

• Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: Script, 2004. ISBN 83-89716-01-1.
• Rafał Latała: Wstęp do Analizy Stochastycznej. Uniwersytet Warszawski, 2011..