q-pochodna

${\displaystyle q}$-pochodna – ${\displaystyle q}$-analog zwykłej pochodnej.

${\displaystyle q}$-pochodną funkcji ${\displaystyle f(x)}$ definiuje się wzorem

${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\right)_{q}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}.}$

Często zapisuje się ją również jako ${\displaystyle \operatorname {D} _{q}f(x).}$ Inną nazwą ${\displaystyle q}$-pochodnej jest pochodna Jacksona.

${\displaystyle q}$-różniczkowanie przypomina zwykłe różniczkowanie z ciekawymi różnicami; przykładowo ${\displaystyle q}$-pochodną jednomianu jest

${\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} z}}\right)_{q}z^{n}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}z^{n-1}=[n]_{q}z^{n-1},}$

gdzie ${\displaystyle [n]_{q}}$ jest ${\displaystyle q}$-nawiasem ${\displaystyle n.}$ Ponieważ ${\displaystyle \lim _{q\to 1}[n]_{q}=n,}$ to zbiegając w tej granicy z powyższym wyrażeniem uzyskuje się zwykłą pochodną.

${\displaystyle n}$-ta pochodna funkcji może być dana jako

${\displaystyle (\operatorname {D} _{q}^{n}f)(0)={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}{\frac {(q;q)_{n}}{(1-q)^{n}}}={\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}[n]_{q}!}$

przy założeniu, że w punkcie ${\displaystyle x=0}$ istnieje ${\displaystyle n}$-ta pochodna funkcji ${\displaystyle f.}$ W powyższym wzorze ${\displaystyle (q;q)_{n}}$ oznacza symbol ${\displaystyle q}$-Pochhammera, a ${\displaystyle [n]_{q}!}$ to ${\displaystyle q}$-silnia.

• całka Jacksona
• funkcja q-wykładnicza

• Victor Kac, Pokman Cheung, Quantum Calculus, Universitext, Springer-Verlag, 2002. ISBN 0-387-95341-8
• J. Koekoek, R. Koekoek, A note on the q-derivative operator (Uwaga na temat operatora q-pochodnej), (1999) ArXiv math/9908140

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., q-Derivative, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-07-16].