Relacja zwrotna

Relacja zwrotna – relacja dwuargumentowa (dwuczłonowa), w której każdy element zbioru jest w relacji sam z sobą^[1]^[2].

Formalnie relację dwuczłonową ${\mathcal {R}}\subseteq X\times X$ nazywa się zwrotną, gdy dla każdego $x\in X$ zachodzi warunek $(x,x)\in {\mathcal {R}}$ ^[2].

Zwrotność jest jedną z definiujących cech praporządków, w tym relacji równoważności i częściowych porządków (skierowań).

Relacja przeciwzwrotna

Relacja przeciwzwrotna – relacja, w której żaden element zbioru nie jest w relacji sam z sobą. Formalnie relację ${\mathcal {R}}\subseteq X\times X$ nazywa się przeciwzwrotną, gdy dla żadnego $x\in X$ nie zachodzi warunek $(x,x)\in {\mathcal {R}},$ czyli gdy dla każdego $x\in X$ zachodzi $(x,x)\notin {\mathcal {R}}$ ^[2].

Przykłady

Relacje zwrotne

relacja identyczności w zbiorze^[2],
relacja podzielności w zbiorze (dodatnich) liczb naturalnych^[2],
relacja przecinania się zbiorów niepustych,
przemienność (komutacja) funkcji w danym zbiorze (działań jednoargumentowych) lub macierzy kwadratowych,
liniowa zależność wektorów,
podgrupa normalna to przykład relacji zwrotnej, która nie jest ani symetryczna, ani przechodnia.

Relacje przeciwzwrotne

relacja większości w zbiorze liczb rzeczywistych,
ścisłe zawieranie (ścisła inkluzja) zbiorów,
prostopadłość prostych,
rozłączność zbiorów niepustych,
liniowa niezależność niezerowych wektorów,
bycie rodzicem lub przodkiem, dzieckiem lub potomkiem, rodzeństwem, małżonkiem.

Relacje ani zwrotne, ani przeciwzwrotne

względna pierwszość liczb naturalnych – nie jest zwrotna, ponieważ 2 nie jest względnie pierwsza ze sobą; nie jest też przeciwzwrotna, bo 1 jest już względnie pierwsza ze sobą samą,
Biorąc relację ${\mathcal {R}}$ określoną na zbiorze liczb naturalnych następująco: $n\ {\mathcal {R}}\ m$ wtedy i tylko wtedy, gdy $n+m+1$ jest liczbą pierwszą. Relacja ${\mathcal {R}}$ nie jest zwrotna i nie jest przeciwzwrotna, ponieważ przykładowo $\lnot (10\ {\mathcal {R}}\ 10)$ (co dowodzi, że nie jest zwrotna, ponieważ $10+10+1=21=3\cdot 7$ ) oraz $2\ {\mathcal {R}}\ 2$ (nie jest przeciwzwrotna, ponieważ $2+2+1=5$ ).

Zobacz też

Przypisy

↑ relacja zwrotna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .
1 2 3 4 5 Rasiowa 1984 ↓, s. 65.

Bibliografia

HelenaH. Rasiowa HelenaH., Wstęp do matematyki współczesnej, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, ISBN 978-83-01-01373-8 (pol.).

Literatura dodatkowa

Wojciech Guzicki, Piotr Zakrzewski: Wykłady ze wstępu do matematyki. Wprowadzenie do teorii mnogości. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2005, s. 155. ISBN 83-01-14415-7.

[epwn-1] relacja zwrotna, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-02] .

[CITEREFRasiowa198465-2] 1 2 3 4 5 Rasiowa 1984 ↓, s. 65.

[1]

[2]