Zasada abstrakcji

Ponieważ relacja równoważności ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ jest zwrotna, dla każdego ${\displaystyle x\in A}$ zachodzi ${\displaystyle x\in A_{x}.}$ Stąd każdy element zbioru ${\displaystyle A}$ należy do pewnego zbioru z rodziny ${\displaystyle \Pi }$ i żaden z tych zbiorów nie jest pusty. Ponadto, jeśli pewne dwa zbiory ${\displaystyle A_{x}}$ i ${\displaystyle A_{y}}$ nie są rozłączne, to istnieje ${\displaystyle z\in A_{x}\cap A_{y},}$ które spełnia ${\displaystyle x{\mathcal {R}}z\wedge z{\mathcal {R}}y.}$ Wtedy z przechodniości relacji ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ wynika, że ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y,}$ czyli dla każdego ${\displaystyle z}$ takiego, że ${\displaystyle z{\mathcal {R}}x}$ zachodzi również ${\displaystyle z{\mathcal {R}}y}$ (z przechodniości). Wobec tego ${\displaystyle A_{x}\subseteq A_{y}.}$ Analogicznie można wykazać, że ${\displaystyle A_{y}\subseteq A_{x},}$ zatem ${\displaystyle A_{x}=A_{y}.}$

Jeśli ${\displaystyle x\in A,}$ to ponieważ ${\displaystyle A=\bigcup _{t\in T},}$ to dla pewnego ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x\in A_{t},}$ a stąd wynika, że ${\displaystyle x{\mathcal {R}}x.}$

Jeśli ${\displaystyle x,y\in A,}$ to ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x.}$ Wynika to z oczywistej implikacji: ${\displaystyle x,y\in A_{t}\Rightarrow y,x\in A_{t}.}$

Niech ${\displaystyle x{\mathcal {R}}y\wedge y{\mathcal {R}}z.}$ Istnieją ${\displaystyle i,j\in T,}$ dla których ${\displaystyle x,y\in A_{i}\wedge y,z\in A_{j}.}$ Jednak w tym wypadku ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}\neq \emptyset ,}$ ponieważ ${\displaystyle y\in A_{i}\cap A_{j},}$ skąd ${\displaystyle A_{i}=A_{j},}$ a więc ${\displaystyle x{\mathcal {R}}z}$^[5].

W zbiorze ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ można wprowadzić taką relację równoważności ${\displaystyle \approx ,}$ że

${\displaystyle (a,b)\approx (c,d)\quad \Longleftrightarrow \quad a+d=c+b}$.

Łatwo sprawdzić, że tak zdefiniowana relacja jest zwrotna i symetryczna. Ponadto jest ona przechodnia, ponieważ z równości

${\displaystyle {\begin{aligned}a+d&=c+b\\c+f&=e+d\end{aligned}}}$

wynika ${\displaystyle (a+d)+(c+f)=(c+b)+(e+d),}$ co daje ${\displaystyle a+f=e+b,}$ czyli ${\displaystyle (a,b)\approx (e,f).}$

Na mocy zasady abstrakcji relacja ${\displaystyle \approx }$ dzieli zbiór ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$ na niepuste i rozłączne zbiory nazywane klasami abstrakcji. Zbiór liczb całkowitych ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ można zdefiniować jako zbiór tych właśnie klas abstrakcji. Klasa abstrakcji, do której należą ${\displaystyle (0,0)}$, ${\displaystyle (1,1)}$, ${\displaystyle (2,2)}$ etc. wyznacza liczbę całkowitą ${\displaystyle 0.}$ Klasy, do których należą pary ${\displaystyle (n,n+k)}$ dla ${\displaystyle n,k\in \mathbb {N} }$ i ${\displaystyle k>0}$ wyznaczają liczby ujemne ${\displaystyle -k.}$

Na tak określonych klasach abstrakcji określa się działania

${\displaystyle {\begin{aligned}\left[(a,b)\right]+[(c,d)]&=[(a+c,b+d)]\\\left[(a,b)\right]\cdot [(c,d)]&=[(ac+bd,ad+bc)]\end{aligned}}}$

i dowodzi się, że ich wyniki nie zależą od wyboru reprezentantów klas abstrakcji oraz, że tak określone działania mają odpowiednie własności.