Twierdzenie Hessenberga

Dowód: W dowodzie wykorzystamy równoważny aksjomatowi wyboru lemat Kuratowskiego-Zorna.

Weźmy dowolny zbiór nieskończony ${\displaystyle X}$ i rozpatrzmy zbiór ${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f|\ f:A\to A\times A\ {\text{jest bijekcją, gdzie }}\ A\subset X\ {\text{jest nieskończony}}\}.}$ Jeśli uporządkujemy ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ relacją inkluzji, to spełnia on założenia lematu Kuratowskiego-Zorna, a zatem istnieje w nim element maksymalny ${\displaystyle g:B\ \to B\times B}$ dla pewnego zbioru ${\displaystyle B\subset X.}$ Jeśli ${\displaystyle |B|=|X|,}$ to zachodzi ${\displaystyle |X|=|B|=|B\times B|=|X\times X|,}$ więc dowód jest zakończony. Załóżmy więc dalej dla dowodu nie wprost, że ${\displaystyle |B|<|X|.}$ Istnieje wtedy taki zbiór ${\displaystyle C\subset X\backslash B,}$ że ${\displaystyle |C|=|B|.}$ Istotnie, w przeciwnym razie z prawa dychotomii wynikałoby istnienie injekcji ${\displaystyle \varphi :X\backslash B\to B,}$ więc biorąc dowolne dwa różne punkty ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in B}$ funkcja ${\displaystyle \psi :X\to B\times B}$ określona jako ${\displaystyle \psi (x)=(x,x_{1})}$ dla ${\displaystyle x\in B}$ oraz ${\displaystyle \psi (x)=(\varphi (x),x_{1})}$ dla ${\displaystyle x\in X\backslash B}$ byłaby injekcją, co prowadzi do sprzeczności, ponieważ implikuje nierówność ${\displaystyle |X|\leqslant |B\times B|=|B|.}$ Zachodzi ${\displaystyle |C|=|B|=|B\times B|=|B\times C|=|C\times B|=|C\times C|,}$ a ponadto ${\displaystyle |C|\leqslant |(B\times C)\cup (C\times B)\cup (C\times C)|=|C\times \{1,2,3\}|\leqslant |C\times C|=|C|,}$ skąd wynika ${\displaystyle |(B\times C)\cup (C\times B)\cup (C\times C)|=|C|,}$ czyli istnieje bijekcja ${\displaystyle h:(B\times C)\cup (C\times B)\cup (C\times C)\to C.}$ Pozostaje tylko zauważyć, że ${\displaystyle (B\cup C)\times (B\cup C)=(B\times B)\cup (B\times C)\cup (C\times B)\cup (C\times C),}$ a zatem funkcja ${\displaystyle g\cup h}$ jest bijekcją prowadzącą z ${\displaystyle (B\cup C)\times (B\cup C)}$ na ${\displaystyle B\cup C,}$ co jednak przeczy maksymalności elementu ${\displaystyle g}$^[2].

Dowód: Udowodnimy równoważne aksjomatowi wyboru twierdzenie Zermela, przy czym w dowodzie skupimy się tylko na dobrym uporządkowaniu zbiorów nieskończonych (możliwość wprowadzenia dobrego porządku na zbiorze skończonym wynika wprost z definicji, czyli istnienia bijekcji na ograniczony podzbiór zbioru liczb naturalnych).

Weźmy dowolny zbiór nieskończony ${\displaystyle X}$ i oznaczmy przez ${\displaystyle \alpha =\mathbb {H} (X)}$ jego liczbę Hartogsa. Zbiór ${\displaystyle X\cup \alpha }$ jest nieskończony, więc z założenia wynika, że zachodzi ${\displaystyle |X\cup \alpha |=|(X\cup \alpha )\times (X\cup \alpha )|\geqslant |X\times \alpha |,}$ a ponadto z faktu, że ${\displaystyle |X\cup \alpha |\leqslant |X\times \alpha |}$ i z twierdzenia Cantora-Bernsteina wynika równoliczność ${\displaystyle |X\times \alpha |=|X\cup \alpha |.}$ Istnieje zatem bijekcja ${\displaystyle f:X\times \alpha \to X\cup \alpha .}$ Dla każdego ${\displaystyle x\in X}$ istnieje ${\displaystyle \beta \in \alpha }$ takie, że ${\displaystyle f(x,\beta )\in \alpha }$ (wynika to z definicji liczby Hartogsa, w przeciwnym razie bowiem istniałaby injekcja z ${\displaystyle \alpha }$ w ${\displaystyle X}$). Niech zatem dla każdego ${\displaystyle x}$ liczba ${\displaystyle \beta _{x}}$ będzie najmniejszą liczbą porządkową o tej własności. Przy takim oznaczeniu funkcja ${\displaystyle g:X\to \alpha }$ określona jako ${\displaystyle g(x)=f(x,\beta _{x})}$ jest injekcją prowadzącą na pewien podzbiór liczby porządkowej, więc można dobrze uporządkować zbiór ${\displaystyle X}$ za pomocą relacji ${\displaystyle a\prec b\Leftrightarrow g(a)<g(b)}$^[3].