Wielomian minimalny

Wielomian minimalny – pojęcie określone dla macierzy kwadratowych oraz endormorfizmów liniowych:

• dla macierzy kwadratowej ${\displaystyle A}$ wielomianem minimalnym jest wielomian anulujący ${\displaystyle \psi (x)}$ tej macierzy, tzn. ${\displaystyle \psi (A)=0}$ stopnia najniższego względem ${\displaystyle \lambda }$ o współczynniku jeden (1) przy najwyższej potędze argumentu ${\displaystyle (x);}$
• dla endomorfizmu liniowego ${\displaystyle f}$ zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian ${\displaystyle \psi (x),}$ że ${\displaystyle \psi (f)}$ (interpretując ${\displaystyle f^{n}}$ jako przekształcenie ${\displaystyle f}$ złożone ze sobą ${\displaystyle n}$ razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian ${\displaystyle \psi }$ jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik jeden (1) przy najwyższej potędze ${\displaystyle x.}$

Każda macierz kwadratowa ma tylko jeden wielomian minimalny.

Wielomian minimalny ${\displaystyle \psi (\lambda )}$ macierzy ${\displaystyle A}$ jest związany z wielomianem charakterystycznym ${\displaystyle \varphi (\lambda )}$ następującą zależnością:

${\displaystyle \psi (\lambda )={\frac {\varphi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}},}$

przy czym ${\displaystyle D_{n-1}(\lambda )}$ jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej

${\displaystyle [\lambda E-A]^{D},}$ gdzie ${\displaystyle E}$ jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz ${\displaystyle A.}$

Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.

Algorytm wyznaczania wielomianu minimalnego ${\displaystyle \psi (\lambda )}$ macierzy ${\displaystyle A{:}}$

1. Wyznaczamy wielomian charakterystyczny ${\displaystyle \varphi (\lambda )}$ macierzy ${\displaystyle A.}$
2. Wyznaczamy macierz dołączoną ${\displaystyle [\lambda E-A]^{D}}$ macierzy ${\displaystyle A.}$
3. Znajdujemy ${\displaystyle D_{n-1}(\lambda )}$ będący największym wspólnym dzielnikiem elementów macierzy dołączonej ${\displaystyle [\lambda E-A]^{D}.}$
4. Korzystając z wzoru ${\displaystyle \psi (\lambda )={\frac {\varphi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}}}$ wyznaczamy szukany wielomian minimalny macierzy ${\displaystyle A.}$

Wyznaczmy wielomian minimalny macierzy:

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}1&0&0\\0&1&1\\0&0&1\end{matrix}}\right).}$

Wyznaczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy ${\displaystyle A{:}}$

${\displaystyle \varphi (\lambda )=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0&0\\0&\lambda -1&-1\\0&0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{3}.}$

Następnie obliczamy macierz dołączoną ${\displaystyle [\lambda E-A]^{D}}$ macierzy ${\displaystyle A,}$ więc wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy ${\displaystyle A{:}}$

${\displaystyle D_{11}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&-1\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2},\quad D_{12}=-\left|{\begin{matrix}0&-1\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{13}=\left|{\begin{matrix}0&\lambda -1\\0&0\end{matrix}}\right|=0,}$

${\displaystyle D_{21}=-\left|{\begin{matrix}0&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{22}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2},\quad D_{23}=-\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&0\end{matrix}}\right|=0,}$

${\displaystyle D_{31}=\left|{\begin{matrix}0&0\\\lambda -1&-1\end{matrix}}\right|=0,\quad D_{32}=-\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&-1\end{matrix}}\right|=\lambda -1,\quad D_{33}=\left|{\begin{matrix}\lambda -1&0\\0&\lambda -1\end{matrix}}\right|=(\lambda -1)^{2}.}$

Aby więc otrzymać macierz dołączoną, należy zastąpić elementy danej macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne i dokonać transpozycji. Ostatecznie macierz dołączona ${\displaystyle [\lambda E-A]^{D}}$ podanej macierzy ${\displaystyle A}$ ma postać:

${\displaystyle [\lambda E-A]^{D}=\left({\begin{matrix}(\lambda -1)^{2}&0&0\\0&(\lambda -1)^{2}&0\\0&\lambda -1&(\lambda -1)^{2}\end{matrix}}\right).}$

Wszystkie elementy macierzy dołączonej są podzielne przez ${\displaystyle \lambda -1}$ zatem ze wzoru:

${\displaystyle \psi (\lambda )={\frac {\varphi (\lambda )}{D_{n-1}(\lambda )}}}$

otrzymujemy, że szukany wielomian minimalny zadanej macierzy ${\displaystyle A}$ ma postać: ${\displaystyle \psi (\lambda )=(\lambda -1)^{2}.}$

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Matrix Minimal Polynomial, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-08-12].
• Minimal polynomial of a matrix (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2026-08-12].