Limites e colimites

Um cone do vértice ${\displaystyle c\in C}$ ao functor ${\displaystyle F}$ é uma transformação natural ${\displaystyle \Delta (c){\dot {\to }}F}$, e, dualmente, um cone de ${\displaystyle F}$ ao vértice ${\displaystyle c}$ é uma transformação natural ${\displaystyle F{\dot {\to }}\Delta (c)}$.^[4] Em símbolos: $${\displaystyle \mathrm {Cone} (c,F)=\mathrm {Nat} (\Delta (c),F),}$$ $${\displaystyle \mathrm {Cone} (F,c)=\mathrm {Nat} (F,\Delta (c)).}$$

A condição de naturalidade para cones de ${\displaystyle c}$ a ${\displaystyle F}$ é ${\displaystyle F(k)\circ \lambda _{i}=\lambda _{j}}$ para cada ${\displaystyle k:i\to j}$ em ${\displaystyle J}$, ou seja, $${\displaystyle {\begin{matrix}{}^{\lambda _{i}}&{}_{\nearrow }&F(i)\\c&&\downarrow &\scriptstyle {F(k)}\\{}_{\lambda _{j}}&{}^{\searrow }&F(j)\end{matrix}},}$$ e cones de ${\displaystyle F}$ a ${\displaystyle c}$ satisfazem a condição dual.

Adicionalmente, temos functor ${\displaystyle \mathrm {Cone} (-,F):C^{\mathrm {op} }\to {\mathsf {Set}}}$ (e analogamente ${\displaystyle \mathrm {Cone} (F,-):C\to {\mathsf {Set}}}$); para cada ${\displaystyle f:c\to d}$, ${\displaystyle \mathrm {Cone} (f,F)}$ leva uma transformação natural de componentes ${\displaystyle \lambda _{i}:d\to F(i)}$ a uma de componentes ${\displaystyle \lambda _{i}\circ f:c\to F(i)}$.^[5]

Em cada representação $${\displaystyle \hom _{C^{\mathrm {op} }}(a,-)=\hom _{C}(-,a)\cong \mathrm {Cone} (-,F),}$$ o objeto ${\displaystyle a}$ é chamado de limite de ${\displaystyle F}$; o correspondente elemento universal ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (a,F)}$ é chamado cone limitante. Noutras palavras, ${\displaystyle \lambda$ :\Delta (a){\dot {\to }}F} é cone limitante se e só se, para cada outro cone ${\displaystyle \mu$ :\Delta (b){\dot {\to }}F} , há precisamente uma seta ${\displaystyle f:b\to a}$ tal que ${\displaystyle \mu _{j}=\lambda _{j}\circ f}$ para cada ${\displaystyle j\in J}$.

Dualmente, numa representação $${\displaystyle \hom _{C}(a,-)\cong \mathrm {Cone} (F,-),}$$ o objeto ${\displaystyle a}$ é chamado de colimite de ${\displaystyle F}$, e o elemento universal ${\displaystyle \lambda \in \mathrm {Cone} (F,a)}$ é chamado cone colimitante.

Limites e colimites são únicos a menos de isomorfismo (pelo Lema de Yoneda), e são denotados respectivamente por ${\displaystyle \mathrm {lim} \,F}$, ${\displaystyle \mathrm {colim} \,F}$.^[4][1][2]

Uma categoria ${\displaystyle C}$ é dita (pequeno-)completa se e só se, para cada categoria pequena ${\displaystyle J}$, todo functor ${\displaystyle F:J\to C}$ tem limite. Dualmente, ${\displaystyle C}$ é (pequeno-)cocompleta se e só se todo functor ${\displaystyle F:J\to C}$ tal que ${\displaystyle J}$ é categoria pequena tem colimite.

Se ${\displaystyle C}$ tem todos os produtos pequenos e todos os equalizadores (de duplas de morfismos), então ${\displaystyle C}$ é completa. Com efeito, um limite de ${\displaystyle F:J\to C}$ é o domínio ${\displaystyle d}$ do equalizador: $${\displaystyle {\begin{array}{c c c}&{}_{f}&\\d{\xrightarrow {e}}\prod _{i\in J}{F(i)}&\rightrightarrows &\prod _{u:j\to k}{F(k)},\\&{}^{g}&\end{array}}}$$ em que as duas setas paralelas são definidas por (abaixo, ${\displaystyle p_{(-)}}$ denota as projeções dos produtos): $${\displaystyle {\begin{array}{l}p_{u}\circ f=p_{k}\\p_{u}\circ g=F(u)\circ p_{j}\end{array}}{\text{ para cada seta }}u:j\to k,}$$ e o cone limitante tem componentes ${\displaystyle p_{i}\circ e:d\to F(i)}$ para cada ${\displaystyle i\in J}$.^[8]

A categoria ${\displaystyle {\mathsf {Set}}}$ dos conjuntos pequenos é pequeno-completa e pequeno-cocompleta. Há fórmulas explícitas para os limites e os colimites de um functor ${\displaystyle F:J\to {\mathsf {Set}}}$: $${\displaystyle \lim F\cong \mathrm {Cone} (\star ,F)\cong \left\{f\in \prod _{i\in J}{F(i)}\mid \forall (j,k\in J)\forall (u:j\to k)F(u)(f(j))=f(k)\right\},}$$ $${\displaystyle \operatorname {colim} F\cong \left(\coprod _{i\in J}{F(i)}\right)/\sim ,}$$ onde ${\displaystyle \sim }$ é a menor relação de equivalência satisfazendo (abaixo, ${\displaystyle \iota _{j}:F(j)\to \coprod _{i\in I}{F(i)}}$ denota as inclusões no coproduto): $${\displaystyle \iota _{j}(x)\sim \iota _{k}(F(u)(x))}$$ para cada ${\displaystyle x\in F(j)}$ e ${\displaystyle u:j\to k}$.^[9][10]

O functor ${\displaystyle \Delta :C\to C^{J}}$ tem adjunto direito se e só se ${\displaystyle C}$ admite todos os limites indexados por ${\displaystyle J}$, e tem adjunto esquerdo se e só se ${\displaystyle C}$ admite todos os limites indexados por ${\displaystyle J}$:

${\displaystyle \hom _{C^{J}}(\Delta (c),F)\cong \hom _{C}(c,\operatorname {lim} F)}$, ${\displaystyle \hom _{C}(\operatorname {colim} F,c)\cong \hom _{C^{J}}(F,\Delta (c))}$.

Neste caso, ${\displaystyle \operatorname {colim} \dashv \Delta \dashv \operatorname {lim} }$, isto é, os operadores limite e colimite podem ser estendidos a functores ${\displaystyle C^{J}\to C}$.^[11]

Um limite de um functor F : J → C^A existe precisamente quando cada functor E_a ∘ F : J → C tem limite (onde E_a : C^A → C é a aplicação em a), e neste caso o limite é um functor L : A → C tal que L(a) é limite de E_a ∘ F para cada a ∈ A.^[17]

Seja functor F : I × J → C tal que, para cada i ∈ I, F(i, –) : J → C tem limite. Então, esses limites formam um functor

lim_{j ∈ J} F(–, j) : I → C,

que tem limite precisamente quando F : I × J → C tem limite.

Em particular, quando os limites abaixo existem, há isomorfismo

lim_{i ∈ I} lim_{j ∈ J} F(i, j) ≅ lim_{j ∈ J} lim_{i ∈ I} F(i, j).^[18]

Para cada functor F : I × J → C, há uma seta "canônica"

colim_{i ∈ I} lim_{j ∈ J} F(i, j) → lim_{j ∈ J} colim_{i ∈ I} F(i, j),

quando existem os limites e colimites adequados. Se C é a categoria dos conjuntos, uma das situações nas quais essa seta é isomorfismo é quando J é categoria finita e I é categoria filtrada (isto é, cada functor K → I com K finita tem cone a algum objeto de I); brevemente, limites finitos comutam com colimites filtrados na categoria dos conjuntos.^[18]