Algebraiczna teoria liczb

Algebraiczna teoria liczb – dział teorii liczb, w którym do badania własności liczb (przede wszystkim liczb wymiernych i całkowitych) oraz ich uogólnień wykorzystuje się zaawansowane narzędzia algebry abstrakcyjnej, takie jak teoria pierścieni, teoria grup, teoria Galois czy algebra przemienna.

W przeciwieństwie do elementarnej teorii liczb, która skupia się na podstawowych własnościach zbioru liczb całkowitych, algebraiczna teoria liczb operuje na szerszych strukturach algebraicznych, w szczególności ciałach liczbowych i ich pierścieniach całkowitych.

Początki algebraicznej teorii liczb sięgają XIX wieku^[1] i prac takich matematyków jak Carl Friedrich Gauss, Ernst Kummer, Richard Dedekind czy David Hilbert, którzy rozwijali teorię w odpowiedzi na próby udowodnienia wielkiego twierdzenia Fermata^[1] oraz badania praw wzajemności.

W XX wieku znaczący wkład w rozwój dziedziny wniosła polska szkoła matematyczna:

• Wacław Sierpiński – kładł nacisk na rygorystyczną aksjomatyzację i rozwój arytmetyki teoretycznej; autor prac dotyczących teorii liczb pierwszych i liczb niewymiernych.
• Andrzej Schinzel – teoretyk, autor m.in. hipotezy H (uogólniającej problemy dotyczące liczb pierwszych na rodziny wielomianów). Przez wiele lat pełnił funkcję redaktora naczelnego czasopisma „Acta Arithmetica”, periodyku poświęconego teorii liczb, wydawanego przez Instytut Matematyczny PAN.
• Władysław Narkiewicz – autor monografii Elementary and Analytic Theory of Algebraic Numbers, stanowiącej kompendium wiedzy łączące podejście algebraiczne i analityczne.
• Badania nad strukturami algebraicznymi oraz rozszerzeniami ciał prowadzili również m.in. Stanisław Ulam (łączący teorię z wizualizacją i statystyką) oraz Jerzy Browkin (autor monografii Teoria ciał).

Podstawową strukturą badaną w algebraicznej teorii liczb jest ciało liczbowe, definiowane jako skończone rozszerzenie ciała liczb wymiernych ${\displaystyle \mathbb {Q} }$. Przykładowymi ciałami liczbowymi są ciała kwadratowe, np. ${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}$.

Wewnątrz każdego ciała liczbowego bada się odpowiadający mu pierścień liczb całkowitych algebraicznych. Liczba algebraiczna to taka liczba zespolona, która jest pierwiastkiem pewnego wielomianu niezerowego o współczynnikach wymiernych. Jeśli dodatkowo wielomian ten jest moniczny (współczynnik przy najwyższej potędze wynosi 1) i ma współczynniki całkowite, liczbę tę nazywa się całkowitą algebraiczną.

Współcześnie algebraiczna teoria liczb stanowi fundament nowoczesnego bezpieczeństwa cyfrowego:

• Kryptografia klucza publicznego: Algorytmy takie jak RSA bazują na trudności faktoryzacji dużych liczb całkowitych, do czego stosuje się algorytmy z algebraicznej teorii liczb (np. sito ciała liczbowego – NFS).
• Protokół Diffiego-Hellmana i ECC: Wymiana kluczy i podpisy cyfrowe opierają się na trudności obliczenia logarytmu dyskretnego w skończonych grupach cyklicznych oraz na krzywych eliptycznych nad ciałami skończonymi.
• Kryptografia postkwantowa: W odpowiedzi na zagrożenie ze strony komputerów kwantowych (które dzięki algorytmowi Shora mogłyby złamać standardy RSA i ECC), bada się obecnie rozwiązania z zakresu kryptografii opartej na kratach (silnie powiązanej z geometryczną teorią liczb) oraz kryptografii wielu zmiennych nad ciałami skończonymi.

• Analityczna teoria liczb
• Teoria Galois
• Ciało (matematyka)

• WładysławW. Narkiewicz WładysławW., Teoria liczb, wyd. 3 zm, Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2003, ISBN 978-83-01-14015-1 [dostęp 2026-04-18]  (pol.).
• JerzyJ. Browkin JerzyJ., Teoria ciał, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977 [dostęp 2026-04-18]  (pol.).
• Andrzej Schinzel, publikacje i redakcje w Acta Arithmetica, Instytut Matematyczny PAN.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Algebraic Number Theory, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2026-04-18]  (ang.).