Funkcja kwadratowa

Postać ogólną można przekształcić do kanonicznej i odwrotnie za pomocą wzorów skróconego mnożenia, konkretniej kwadratu sumy:

${\displaystyle {\begin{aligned}a(x-p)^{2}+q&=a(x^{2}-2px+p^{2})+q=\\&=ax^{2}-2apx+ap^{2}+q,\end{aligned}}}$

co daje wzory^[8]:

${\displaystyle {\begin{aligned}b=&\ -2ap,\ c=ap^{2}+q,\\p=&\ -{\frac {b}{2a}},\\q=&\ c-ap^{2}=c-a\cdot {\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}=\\=&\ {\tfrac {4ac}{4a}}-{\tfrac {b^{2}}{4a}}=-{\frac {\Delta }{4a}},\\\Delta$ :=&\ b^{2}-4ac.\end{aligned}}}

Wyrażenie ${\displaystyle \Delta }$ (delta) nazywa się wyróżnikiem funkcji kwadratowej ${\displaystyle f}$^[8]. Z postaci ogólnej do kanonicznej można też przejść inaczej, również wykorzystując wzór na kwadrat sumy:

${\displaystyle {\begin{aligned}ax^{2}+bx+c&=ax^{2}+bx+{\tfrac {b^{2}}{4a}}-{\tfrac {b^{2}}{4a}}+c=\\&=a\left(x^{2}+2x{\tfrac {b}{2a}}+{\tfrac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)-{\tfrac {b^{2}}{4a}}+{\tfrac {4ac}{4a}}=\\&=a\left(x+{\tfrac {b}{2a}}\right)^{2}-{\tfrac {b^{2}-4ac}{4a}}.\end{aligned}}}$

Postać kanoniczna pomaga opisać i narysować wykres funkcji^[4]. Przypadek zmiennej rzeczywistej opisuje odpowiednia sekcja.

W dziedzinie rzeczywistej liczba miejsc zerowych takiej funkcji – zwanych też pierwiastkami – wynosi 0, 1 lub 2. Zależy to od znaku wyróżnika (${\displaystyle \Delta }$)^[8], co można uzasadnić za pomocą postaci kanonicznej i jej związku z postacią ogólną:

${\displaystyle {\begin{aligned}a(x-p)^{2}+q&=0,\\a(x-p)^{2}&=-q,\\(x-p)^{2}&=-{\frac {q}{a}}={\frac {\Delta }{4a^{2}}}.\end{aligned}}}$

Możliwość dalszych przekształceń w obrębie liczb rzeczywistych zależy od tego, czy prawa strona równania ma rzeczywisty pierwiastek kwadratowy. To z kolei zależy od jej znaku, który jest taki sam, jak ten wyróżnika^[e]. W przypadku nieujemnym (${\displaystyle \Delta \geqslant 0}$) otrzymuje się:

${\displaystyle {\begin{aligned}x-p&=\pm {\sqrt {\frac {\Delta }{4a^{2}}}}=\pm {\frac {\sqrt {\Delta }}{\sqrt {4a^{2}}}},\\x&=p\pm {\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}=-{\frac {b}{2a}}\pm {\frac {\sqrt {\Delta }}{2a}}.\end{aligned}}}$

Ostatecznie jeśli wyróżnik jest:

• dodatni (${\displaystyle \Delta >0}$), to miejsca zerowe są dwa^[8]:

${\displaystyle x_{1}={\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}},\ x_{2}={\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}};}$

• zerowy (${\displaystyle \Delta =0}$), to miejsce zerowe jest jedno^[8]:

${\displaystyle x_{1}=x_{2}={\tfrac {-b}{2a}}=p;}$

jest nazywane podwójnym jako pierwiastek dwukrotny wielomianu wyznaczającego funkcję^[9];

• ujemny (${\displaystyle \Delta <0}$), to nie ma rzeczywistych miejsc zerowych^[8].

W dziedzinie zespolonej rozwiązania istnieją zawsze i są dane powyższymi wzorami; w przypadku ujemnego wyróżnika (${\displaystyle \Delta <0}$) jego algebraiczne pierwiastki kwadratowe są liczbami urojonymi: ${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}\in i\mathbb {R} }$. To istnienie rozwiązań dla dowolnych współczynników jest szczególnym przypadkiem zasadniczego twierdzenia algebry. Jeśli współczynniki funkcji (${\displaystyle a,b}$) są przy tym rzeczywiste, to miejsca zerowe różnią się tylko znakiem części urojonej. O takich liczbach mówi się, że są względem siebie sprzężone^[10].

Są to wzory m.in. na sumę i iloczyn miejsc zerowych różnych funkcji; dla funkcji kwadratowej są dwa takie wzory^[8]:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}+x_{2}&=-{\tfrac {b}{a}},\\x_{1}x_{2}&={\tfrac {c}{a}}.\\\end{aligned}}}$

Istnieje też związek różnicy miejsc zerowych z wyróżnikiem^[11]:

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{2}-x_{1}={\frac {\sqrt {\Delta }}{a}},\\\Delta =a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}.\end{aligned}}}$

To wszystko pozwala odtworzyć postacie ogólną i kanoniczną z miejsc zerowych oraz współczynnika wiodącego (${\displaystyle a}$)^[12]:

${\displaystyle {\begin{aligned}b&=-a(x_{1}+x_{2}),\\c&=ax_{1}x_{2},\\p&={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}},\\q&=-{\frac {\Delta }{4a}}=-{\frac {a^{2}(x_{1}-x_{2})^{2}}{4a}}=\\&=-a{\Bigl (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Bigr )}^{2}.\end{aligned}}}$

Jeśli funkcja kwadratowa ma miejsca zerowe ${\displaystyle x_{1},x_{2}}$ – niekoniecznie różne – to można ją zapisać w jeszcze jednej postaci^[8]:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=a(x-x_{1})(x-x_{2})=\\&=a\left(x-{\tfrac {-b+{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right)\left(x-{\tfrac {-b-{\sqrt {\Delta }}}{2a}}\right).\end{aligned}}}$

W dziedzinie rzeczywistej jest to możliwe, jeśli wyróżnik jest nieujemny^[8] (${\displaystyle \Delta \geqslant 0}$) – wtedy jego pierwiastek kwadratowy jest rzeczywisty. W dziedzinie zespolonej jest to zawsze możliwe – jeśli wyróżnik jest ujemny (${\displaystyle \Delta <0}$), to

${\displaystyle {\sqrt {\Delta }}=i{\sqrt {4ac-b^{2}}},}$ gdzie ${\displaystyle i}$ jest jednostką urojoną^[10].

Postać iloczynową można wyprowadzić z kanonicznej, stosując wzór na różnicę kwadratów (${\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)}$):

${\displaystyle {\begin{aligned}a(x-p)^{2}+q&=a\left[(x-p)^{2}+{\frac {q}{a}}\right]=\\&=a\left[(x-p)^{2}-{\sqrt {-{\tfrac {q}{a}}}}^{2}\right]=\\&=a\left[(x-p)-{\sqrt {-{\tfrac {q}{a}}}}\right]\left[(x-p)+{\sqrt {-{\tfrac {q}{a}}}}\right]=\\&=a\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}-{\sqrt {\tfrac {\Delta }{4a^{2}}}}\right]\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right]=\\&=a\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}-{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right]\left[x-{\tfrac {-b}{2a}}+{\tfrac {\sqrt {\Delta }}{2a}}\right].\end{aligned}}}$

Postać iloczynowa umożliwia inne wyprowadzenie jednego ze wzorów na postać kanoniczną:

${\displaystyle {\begin{aligned}q&=f(p)=a(p-x_{1})(p-x_{2})=\\&=a{\Big (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-x_{1}{\Big )}{\Big (}{\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}-x_{2}{\Big )}=\\&=a{\Big (}{\frac {x_{2}-x_{1}}{2}}{\Big )}{\Big (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Big )}=\\&=-a{\Big (}{\frac {x_{1}-x_{2}}{2}}{\Big )}^{2}.\end{aligned}}}$

• Funkcja jest parzysta wyłącznie dla ${\displaystyle b=0;}$
• nigdy nie jest nieparzysta ani okresowa;
• monotoniczność: maleje (rośnie) w przedziale ${\displaystyle (-\infty ,p],}$ po czym rośnie (maleje) w przedziale ${\displaystyle [p,\infty )}$ dla ${\displaystyle a>0\;(a<0);}$
• ekstrema: jedno ekstremum globalne w punkcie ${\displaystyle p}$ (pierwsza pochodna zeruje się wyłącznie w tym punkcie): minimum dla ${\displaystyle a>0}$ i maksimum dla ${\displaystyle a<0}$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
• przez to zbiorem wartości jest przedział:
  • ${\displaystyle [q,\infty )}$ dla ${\displaystyle a>0}$;
  • ${\displaystyle (-\infty ,q]}$ dla ${\displaystyle a<0,}$;
• wypukłość: wypukła dla ${\displaystyle a>0}$ i wklęsła dla ${\displaystyle a<0}$ (zgodnie ze znakiem drugiej pochodnej);
• punkty przegięcia: brak.

• Brak asymptot;
• ciągłość w całej dziedzinie;
• różniczkowalność w całej dziedzinie; kolejne pochodne:

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=2ax+b;\\f''(x)&=2a;\ n>2\Rightarrow \\f^{(n)}&\equiv 0.\end{aligned}}}$

Oznacza to, że funkcja jest gładka;

• całkowalność w sensie Riemanna i Lebesgue’a; funkcja pierwotna:

${\displaystyle F(x)={\tfrac {1}{3}}ax^{3}+{\tfrac {1}{2}}bx^{2}+cx+C.}$

• Pole koła jest kwadratową funkcją promienia (a zatem i średnicy).
• Pole rombu, na przykład kwadratu, jest kwadratową funkcją długości boku. To samo dotyczy innych wielokątów foremnych.
• Pole sfery jest kwadratową funkcją jej promienia (a zatem i średnicy).
• Pole wielościanów foremnych jest kwadratową funkcją długości krawędzi.

• Suma ciągu arytmetycznego jest kwadratową funkcją liczby wyrazów. Przykład to sumy kolejnych liczb naturalnych, zwane liczbami trójkątnymi.
• Funkcja cosinus może być przybliżana funkcją kwadratową.

• W kinematyce:
  • dla ruchu jednostajnie zmiennego położenie (droga) jest kwadratową funkcją czasu;
  • przyspieszenie dośrodkowe jest kwadratową funkcją prędkości liniowej lub kątowej.
• W dynamice:
  • rzut ukośny, przy zaniedbaniu oporów ruchu, jest opisany funkcją kwadratową. Jego trajektorią jest wykres funkcji kwadratowej, czyli parabola;
  • dla wysokich prędkości opór ośrodka jest kwadratową funkcją prędkości;
  • energia kinetyczna jest kwadratową funkcją prędkości lub pędu;
  • energia potencjalna dla sprężyny lub innego obiektu spełniającego prawo Hooke’a jest kwadratową funkcją położenia.