Odcinek koła

Odcinek koła – figura geometryczna, część koła ograniczona cięciwą wyznaczającą kąt środkowy $\theta$ okręgu oraz łukiem okręgu ograniczonym przez ramiona tego kąta^[1].

Wzór wiążący parametry odcinka koła:

h=R-{\sqrt {R^{2}-\left({\frac {c}{2}}\right)^{2}}}

gdzie:

$h$ – wysokość (strzałka łuku);
$c$ – długość cięciwy;
$R$ – długość promienia koła.

Wzory

Wzory na pole i obwód odcinka koła
	$\theta$ w stopniach	$\theta$ w radianach
Pole odcinka koła	$P={\frac {\pi R^{2}\theta }{360}}-{\frac {R^{2}\sin(\theta )}{2}}$	$P={\frac {R^{2}}{2}}{\big (}\theta -\sin(\theta ){\big )}$
Obwód odcinka koła	$l={\frac {\theta }{180}}\pi R+2R\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$	$l=\theta R+2R\sin \left({\frac {\theta }{2}}\right)$

Długość łuku $s=R\theta$ , gdzie miara kąta $\theta$ jest wyrażona w radianach.

Wyprowadzenie wzoru na pole odcinka koła

Zauważmy na samym początku, że pole odcinka koła stanowi różnicę pola wycinka koła ograniczonego ramionami kąta $\theta$ oraz pola trójkąta ograniczonego tymi ramionami i cięciwą.

Pole wycinka koła wynosi $\pi R^{2}{\frac {\theta }{2\pi }}=R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}\right)$ .

Pole trójkąta o ramionach długości $R$ i kącie $\theta$ między tymi ramionami wynosi:

{\frac {1}{2}}R^{2}\sin(\theta )

Zatem pole odcinka koła jest ostatecznie równe

R^{2}\left({\frac {\theta }{2}}-{\frac {1}{2}}\sin(\theta )\right)={\frac {R^{2}}{2}}{\big (}\theta -\sin(\theta ){\big )}

Dowód został zakończony. ∎

Przypisy

↑ odcinek koła, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-07-11] .

Bibliografia

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Circular Segment, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-13] (ang.).
Segment (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-11].

[epwn-1] odcinek koła, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2025-07-11] .

[1]