Pole koła

Pole koła – wielkość geometryczna określająca miarę powierzchni ograniczonej przez okrąg o promieniu ${\displaystyle r}$. Pole koła wyraża się wzorem ${\displaystyle S=\pi r^{2}}$^[1].

Rozważmy okrąg o promieniu ${\displaystyle r}$. W okrąg wpiszmy wielokąt foremny. Wielokąt ten można podzielić na jednakowe trójkąty o wspólnym wierzchołku w środku okręgu.

Niech:

• ${\displaystyle s}$ oznacza długość jednego boku wielokąta,
• ${\displaystyle h}$ oznacza wysokość pojedynczego trójkąta,
• ${\displaystyle n}$ oznacza liczbę boków wielokąta.

Obwód wielokąta foremnego jest równy długości jego boków przemnożonej przez ich ilość ${\displaystyle l=n\cdot s}$.

Pole jednego trójkąta wynosi ${\displaystyle {\frac {1}{2}}sh}$, więc pole całego wielokąta jest więc równe ${\displaystyle S=n\cdot {\frac {1}{2}}sh={\frac {1}{2}}(ns)h={\frac {1}{2}}lh}$.

Długość okręgu wynosi ${\displaystyle l=2\pi r}$. Dodatkowo wysokość każdego trójkąta dąży do promienia okręgu ${\displaystyle h\to r}$.

W granicy liczby boków dążącej do nieskończoności pole wielokąta staje się polem koła, zatem:

${\displaystyle S={\frac {1}{2}}\cdot 2\pi r\cdot r=\pi r^{2}}$, q.e.d^[2].

Można także skorzystać z twierdzenia o półobwodzie, wówczas okręgiem wpisanym w okrąg będzie on sam, więc jego promień będzie równy promieniowi tego okręgu. Można więc zapisać ${\displaystyle S=pr={\frac {lr}{2}}={\frac {2\pi rr}{2}}=\pi r^{2}}$, q.e.d.

• długość okręgu
• ${\displaystyle \pi }$
• ${\displaystyle \tau }$