Twierdzenie Wantzela

Twierdzenie Wantzela – twierdzenie geometryczne, które w wielu przypadkach pozwala na rozstrzygnięcie niewykonalności pewnych konstrukcji klasycznych (tj. osiągalnych za pomocą wyimaginowanych cyrkla i liniału); w szczególności dotyczy to starożytnych problemów podwojenia sześcianu i trysekcji kąta^[1]. Ponadto możliwe jest udowodnienie za jego pomocą twierdzenia Gaussa-Wantzela, które określa warunki konstruowalności wielokąta foremnego^[2].

Twierdzenie

Jeżeli dana liczba rzeczywista (lub zespolona) jest konstruowalna przy pomocy cyrkla i liniału, to jest ona pierwiastkiem pewnego wielomianu nierozkładalnego o współczynnikach wymiernych, którego stopień jest potęgą naturalną liczby 2.

Zobacz też

Przypisy

↑ Andrzej Strojnowski: Trzy słynne problemy starożytnych Greków. Wyd. 1. Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, 1995, s. 35-49. ISBN 83-02-05346-5.
↑ Feliks Klein: Elementarmathematik vom hoheren standpunkte aus erster band. Verlag von Julius Springer, 1924.

Linki zewnętrzne

KrzysztofK. Ciesielski KrzysztofK., ZdzisławZ. Pogoda ZdzisławZ., Twierdzenie Wantzela, „Delta”, czerwiec 1988, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-08-07] .

Konstrukcje klasyczne

rysunki za pomocą samego cyrkla i liniału

przykłady
zagadnień

rozwiązane	symetralna odcinka okrąg opisany na wielokącie dwusieczna kąta okrąg wpisany w wielokąt ślimak Teodorosa niektóre wielokąty foremne problem Apoloniusza problem Napoleona
nierozwiązywalne	trysekcja kąta podwojenie sześcianu kwadratura koła rektyfikacja okręgu niektóre wielokąty foremne

konstrukcje
przybliżone

konstrukcja Kochańskiego

twierdzenia
stwierdzające:

możliwość konstrukcji	Gaussa-Wantzela Mohra-Mascheroniego Ponceleta-Steinera
niemożliwość konstrukcji	Gaussa-Wantzela Wantzela

powiązane
pojęcia

geometrii	kwadratura pole powierzchni pi (π)
arytmetyki i algebry	liczby algebraiczne i liczby przestępne liczby Fermata

konstrukcja neusis

badacze^[a]
według
daty
narodzin

V wiek p.n.e.	Ojnopides z Chios Hipokrates z Chios Teodor z Cyreny
III wiek p.n.e.	Apoloniusz z Pergi
XVI wiek	François Viète René Descartes
XVII wiek	Pierre de Fermat Elisabeth Simmern van Pallandt Adam Adamandy Kochański Georg Mohr
XVIII wiek	Lorenzo Mascheroni Napoleon Bonaparte Carl Friedrich Gauss Jean-Victor Poncelet Jakob Steiner
XIX wiek	Pierre Laurent Wantzel

konstrukcja okręgu
przez cyrkiel

↑ badacze wszystkich podanych pojęć, niekoniecznie samych konstrukcji

Liczby rzeczywiste

elementarna	oś liczbowa prosta odcinek jednostkowy i skierowany – wersor
przez aksjomaty	porządek liniowy ciągły – aksjomat ciągłości ciało uporządkowane archimedesowe – aksjomat Archimedesa
przez konstrukcje	przekroje Dedekinda ciągi Cauchy’ego rozwinięcia dziesiętne

dychotomie
tego zbioru

według znaku	liczby dodatnie $(\mathbb {R} _{+})$ i niedodatnie liczby ujemne $(\mathbb {R} _{-})$ i nieujemne
inne	liczby wymierne $(\mathbb {Q} )$ i niewymierne $(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )$ rzeczywiste liczby algebraiczne i rzeczywiste liczby przestępne

inne istotne
podzbiory

pierwiastniki liczb wymiernych
- liczby konstruowalne
przedziały liczbowe
zbiór Cantora
zbiór Vitalego

continuum $({\mathfrak {c}})$ $({\mathfrak {c}})$ – nieprzeliczalna na mocy twierdzenia Cantora
- dowód: metoda przekątniowa

przestrzenie kartezjańskie^[a]	liczby zespolone $(\mathbb {C} )$ liczby dualne, podwójne i hiperzespolone
inne	rozszerzenia afiniczne i rzutowe $({\overline {\mathbb {R} }},\ \mathbb {R} \mathrm {P} ^{1})$ liczby hiperrzeczywiste i nadrzeczywiste

badacze
według
daty
narodzin

p.n.e.	Pitagorejczycy Archimedes z Syrakuz
XVIII wiek	Augustin Louis Cauchy
XIX wiek	Henry John Stephen Smith Richard Dedekind Charles Méray Georg Cantor Giuseppe Vitali
XX wiek	Alfred Tarski

↑ potęgi kartezjańskie, czyli $\mathbb {R} ^{n},\ n\in \mathbb {N} _{+}$