Pierwiastkowanie

Pierwiastkowanie – operacja odwrotna względem potęgowania, zdefiniowana m.in. dla liczb rzeczywistych i zespolonych. Przy okazji omawiania pierwiastkowania dla liczb rzeczywistych, wprowadza się dwa osobne względem siebie, pojęcia: pierwiastka arytmetycznego i pierwiastka algebraicznego.

Pierwiastki (arytmetyczne i algebraiczne) pojawiają się np. w definicji średniej geometrycznej, w pierwiastkowym kryterium Cauchy’ego na zbieżność szeregu liczbowego (zagadnienie analizy matematycznej), albo w definicji odległości Minkowskiego.

Pierwiastki zespolone z jedynki odgrywają istotną rolę w matematyce wyższej. Duża część teorii Galois skupia się na wskazaniu, które z liczb algebraicznych można przedstawić za pomocą pierwiastków, co prowadzi do twierdzenia Abela-Ruffiniego mówiącego, iż ogólny wielomian stopnia piątego bądź wyższego nie może być rozwiązany za pomocą tzw. pierwiastników, tzn. wyrażeń połączonych działaniami dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia oraz pierwiastków.

Pierwiastek rzeczywisty arytmetyczny

Pierwiastki arytmetyczne definiuje się dla liczb rzeczywistych i w taki sposób, by przypisać liczbom rzeczywistym pierwiastki w sposób wzajemnie jednoznaczny, tj. każdej liczbie rzeczywistej odpowiada dokładnie jeden pierwiastek stopnia $n$ -tego, przy czym nie istnieją pierwiastki arytmetyczne dla liczb ujemnych stopnia parzystego, np. pierwiastek drugiego stopnia z $-1$ . Natomiast już w dziedzinie liczb zespolonych, pierwiastek $n$ -tego stopnia z liczby $-1$ istnieje i ma dokładnie $n$ wartości (por. dalej) ^[a]; w tym przypadku liczba $-1$ jest traktowana jako liczba zespolona o zerowej części urojonej. Także definiuje się tzw. pierwiastek algebraiczny w dziedzinie liczb rzeczywistych, który może mieć dwie wartości dla tej samej liczby.

Liczby rzeczywiste nieujemne

Wykres funkcji pierwiastka arytmetycznego kwadratowego $y={\sqrt {x}}$ – funkcja ta jest zdefiniowana jednoznacznie dla liczb nieujemnych i przypisuje pierwiastkowi wartość nieujemną.

Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia $n$ ( gdzie $n\in {\big (}\mathbb {N} _{0}\,\backslash \,\{0\}{\big )}$ ) z liczby rzeczywistej nieujemnej $x$ (tzn. ma być: $x\in \mathbb {R}$ oraz $x\geqslant 0$ ) nazywamy taką liczbę rzeczywistą nieujemną $y$ (tzn. ma być: $y\in \mathbb {R}$ oraz $y\geqslant 0$ ), która podniesiona do potęgi $n\,$ , daje liczbę $x$ , tj.:

$y^{n}=x$

Oznaczenie. Liczbę $y$ zapisujemy wówczas w następujący sposób; wprowadzając tym samym znak pierwiastka $n$ -tego stopnia:

$y={\sqrt[{n}]{x}}$

Oprócz tego, liczbę $x$ nazywamy wówczas liczbą podpierwiastkową ^[b].

Uwaga. W ten sposób każdej nieujemnej liczbie rzeczywistej przypisana zostaje jedna nieujemna liczba rzeczywista, będąca jej pierwiastkiem arytmetycznym.

Z definicji wynika, że pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x$ , jest rozwiązaniem ^[c] równania $y^{n}-x=0$ zmiennej $y$ przy ustalonej wartości $x\,$ .

Np. ${\sqrt[{4}]{16}}=2\,$ – pierwiastek arytmetyczny czwartego stopnia z $16\,$ , gdyż $2^{4}=16$ .

Uwaga: Jeżeli liczbę 16 będziemy traktować jako liczbę zespoloną (o zerowej części urojonej), to otrzymamy cztery pierwiastki ${\sqrt[{4}]{16}}=2,-2,2i,-2i$ (por. dalej – pierwiastki zespolone).

Liczby rzeczywiste ujemne i pierwiastek stopnia nieparzystego

Wykres funkcji sześciennej $y={\sqrt[{3}]{x}}$ . Funkcja ta jest rosnąca w całym przedziale liczb rzeczywistych, dlatego każdej liczbie rzeczywistej $x$ odpowiada dokładnie jedna liczba $y={\sqrt[{3}]{x}}$ będąca jej pierwiastkiem sześciennym. W szczególności pierwiastki z liczb ujemnych są liczbami ujemnymi.

Dla liczb rzeczywistych ujemnych $x<0$ pierwiastek stopnia nieparzystego $n$ definiuje się wzorem

$y=-{\sqrt[{n}]{|x|}}$

gdzie: $|x|$ — wartość bezwzględna liczby $x\,$

Uwaga. Wtedy nasze wyrażenie po prawej stronie (tzn. $-{\sqrt[{n}]{|x|}}$ ) ma określoną wartość, ponieważ samo ${\sqrt[{n}]{|x|}}$ ma już wtedy określoną wartość (bo zdefiniowaliśmy już pierwiastek dla liczb rzeczywistych nieujemnych), tak więc także samo $y$ , jest już wówczas dobrze określone.

Np.:

${\sqrt[{3}]{-8}}=-\ {\sqrt[{3}]{8}}=-2$
${\sqrt[{5}]{-2}}=-\ {\sqrt[{5}]{2}}=-1{,}148698354...$

Dla nieparzystych $n$ każda liczba rzeczywista ma w ten sposób zdefiniowany pierwiastek rzeczywisty n-tego stopnia.

Nie istnieje zaś rzeczywisty pierwiastek stopnia parzystego z liczby ujemnej, np. ${\sqrt[{4}]{-8}}\,$ . Istotnie, nie może on istnieć, ponieważ nie istnieje taka liczba rzeczywista $y$ , która byłaby rozwiązaniem równania $y^{4}=-8=x$ (każda liczba rzeczywista, także ujemna, podniesiona do parzystej potęgi, zawsze będzie musiała zwrócić wartość nieujemną – zaś samo $-8$ , jest naturalnie wartością ujemną). Jednak już w dziedzinie liczb zespolonych ${\sqrt[{4}]{-8}}\,$ ma aż cztery różne wartości (por. dalej - pierwiastki zespolone).

Symbole pierwiastka arytmetycznego

Pierwiastki zapisuje się zwykle za pomocą symbolu ${\sqrt {^{^{\;}}}}$ (zob. niżej), pierwiastkom stopnia drugiego, trzeciego, czwartego itd. z liczby $x$ odpowiadają kolejno symbole ${\sqrt {x}},{\sqrt[{3}]{x}},{\sqrt[{4}]{x}}$ itp. (zwyczajowo pomija się w zapisie stopień pierwiastka kwadratowego). Notacja ta nie budzi zastrzeżeń w stosunku do pierwiastków arytmetycznych, niemniej może prowadzić do sprzeczności w przypadku pierwiastków algebraicznych, dla których symbole te nie są jednoznaczne, gdyż istnieje wiele pierwiastków algebraicznych danej liczby (por. niżej).

Pierwiastek kwadratowy, sześcienny i inne

Dla $n=2$ pierwiastek arytmetyczny nazywa się pierwiastkiem kwadratowym i oznacza ${\sqrt {x}}$ , pomijając cyfrę $2$ , zaś dla $n=3$ nazywa się pierwiastkiem sześciennym i oznacza ${\sqrt[{3}]{x}}$ ; pierwiastki wyższych stopni nazywa się wyłącznie liczbowo, np. „pierwiastek czwartego stopnia”.

Pierwiastkowanie jako potęgowanie o ułamkowym wykładniku

Obliczanie pierwiastka $n$ -tego stopnia jest operacją odwrotną do potęgowania, dlatego pierwiastkowanie można zapisywać jako potęgowanie o wykładniku ułamkowym, tj.

{\sqrt[{n}]{x}}\equiv x^{\frac {1}{n}}

Dowód.

Korzystając z twierdzenia o potędze ${\big (}x^{a}{\big )}^{b}=x^{(a\,\cdot \,b)}$ potęgi mamy:

{\big (}x^{\frac {1}{n}}{\big )}^{n}=x^{{\big (}{\frac {1}{n}}\cdot n{\big )}}=x^{(1)}=x^{1}=x

Z drugiej strony, z definicji pierwiastka wynika, że $n$ -ta potęga pierwiastka $n$ -tego stopnia musi dać liczbę podpierwiastkową $x,$ tj.

{\big (}{\sqrt[{n}]{x}}{\big )}^{n}=x

Porównując obie równości, otrzymujemy rzeczoną równość (porównujemy na zasadzie stwierdzenia, że – istotnie – liczby $y_{1}=x^{\frac {1}{n}}$ oraz $y_{2}={\sqrt[{n}]{x}}\,$ , obie podniesione do potęgi $n\,$ , dają nam tę samą liczbę $x\,$ ; a więc też i obie one muszą być tym samym pierwiastkiem arytmetycznym (który został łącznie zdefiniowany wcześniej, w sposób jednoznaczny, dla wszystkich liczb rzeczywistych $x\,$ i stopni naturalnych niezerowych $n\,$ ).

Twierdzenia – pierwiastki rzeczywiste

Krzywe wybranych pierwiastków i potęg dla $x\in [0,1]$ . Przekątna równania $y=x$ jest osią symetrii między każdą krzywą funkcji pierwiastkowej a krzywą jej funkcji odwrotnej.

Jeżeli $x$ , $y$ są nieujemnymi liczbami rzeczywistymi, zaś $n$ , $m$ są dodatnimi liczbami całkowitymi, to wówczas:

${\sqrt[{n}]{x\cdot y}}={\sqrt[{n}]{x}}\,\cdot {\sqrt[{n}]{y}}$
${\sqrt[{n}]{\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt[{n}]{x}}{\sqrt[{n}]{y}}}\quad {}$ jeśli dodatkowo, jest: $y\neq 0$
${\sqrt[{n}]{x^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{x}}\right)^{m}$
${\sqrt[{m}]{{\big (}{\sqrt[{n}]{x}}{\big )}}}={\sqrt[{(m\,\cdot \,n)}]{x}}$

gdy $x<y$ to: ${\sqrt[{n}]{x}}<{\sqrt[{n}]{y}}$
Pierwiastek kwadratowy z liczby naturalnej jest albo liczbą naturalną, albo niewymierną^[d]; np. dla liczby naturalnej 2:

{\sqrt {2}}=1{,}414213562\dots

Im większy stopień pierwiastka z liczby mniejszej od $1$ , tym większa jest jego wartość, która zmierza do 1 wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np. $\,{\sqrt[{2}]{0.4}}\approx 0{.}6\,\,<\,\,{\sqrt[{5}]{0.4}}\approx 0{.}8\,\,<\,\,{\sqrt[{100}]{0.4}}\approx 0{.}99\,$
Im większy stopień pierwiastka z liczby wiekszej od $1$ , tym mniejsza jest jego wartość, która zmierza do $1$ wraz ze wzrostem stopnia pierwiastka, np. ${\sqrt {2}}\approx 1{,}4\,\,>\,\,{\sqrt[{3}]{2}}\approx 1{,}3\,\,>\,\,{\sqrt[{100}]{2}}\approx 1{,}007\,$

Pierwiastki stopni całkowitych z liczb niewymiernych są niewymierne, bo liczba wymierna podniesiona do potęgi o dowolnym wykładniku całkowitym daje liczbę wymierną.

Pierwiastek rzeczywisty algebraiczny

Pierwiastkiem algebraicznym stopnia $n$ ( gdzie $n\in {\big (}\mathbb {N} _{0}\,\backslash \,\{0\}{\big )}$ ) z liczby rzeczywistej $x$ nazywamy taką liczbę rzeczywistą $y$ (dodatnią lub ujemną lub równą zero), która podniesiona do potęgi $n$ daje liczbę $x$ ^[1], tj.

$y^{n}=x$

Pierwiastek algebraiczny z liczb rzeczywistych ujemnych stopnia parzystego nie istnieje, podobnie jak pierwiastek arytmetyczny stopnia parzystego, np. pierwiastek kwadratowy z $-8$ . Ale istnieje pierwiastek algebraiczny dla dowolnych liczb rzeczywistych stopnia nieparzystego i ma zawsze jedną wartość, np. pierwiastek 3-go stopnia z $-8$ wynosi $-2$ . Zaś dla liczb rzeczywistych dodatnich istnieją zawsze dwa pierwiastki algebraiczne stopnia parzystego. Np. dla liczby $4$ istnieją dwie takie liczby: $2$ oraz $-2$ , gdyż $2^{2}=4$ oraz $(-2)^{2}=4$ – obie te liczby nazywamy pierwiastkami kwadratowymi algebraicznymi z liczby $4$ .

Operacja znajdowania pierwiastka algebraicznego w dziedzinie liczb rzeczywistych przypisuje więc danej liczbie jedną wartość lub dwie wartości, inaczej niż dla pierwiastka arytmetycznego, który przyjmuje zawsze jedną wartość (oraz - tak jak w przypadku pierwiastka arytmetycznego - wyklucza przypisywanie pierwiastków stopnia parzystego liczbom ujemnym).

Pierwiastek zespolony

Definicja. Pierwiastkiem zespolonym stopnia $n=1,2,3,4...$ z liczby zespolonej $z$ nazywa się dowolną liczbę $w$ spełniającą równość

w^{n}=z

Fakt. Każda niezerowa liczba zespolona $z$ (w tym liczba rzeczywista, tj. zespolona o zerowej części urojonej) ma $n$ różnych zespolonych pierwiastków $n$ -tego stopnia (to jest tzw. zasadnicze twierdzenie algebry).

Twierdzenie. Aby wyznaczyć pierwiastki zespolone liczby zespolonej $z=a+i\cdot b$ , przedstawia się ją w postaci trygonometrycznej:

z=|z|\left(\cos(\phi )+i\cdot \sin(\phi )\right)

gdzie:

|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}

— moduł

\phi =\arctan {\bigg (}{\frac {b}{a}}{\bigg )}\in (-\pi ,\pi ]

— argument główny

Wtedy pierwiastki $n$ -go stopnia określa wzór de Moivre’a:

w_{(k)}={\sqrt[{n}]{|z|}}\cdot \left(\cos {\Big (}{\tfrac {\phi +2k\pi }{n}}{\Big )}+i\cdot \sin {\Big (}{\tfrac {\phi +2k\pi }{n}}{\Big )}\right)

gdzie $k=0,1,2,\dots ,n-1$ oznacza numer pierwiastka (symbol ${\sqrt[{n}]{\;}}$ oznacza tu pierwiastek arytmetyczny).

Pierwiastki 3-go stopnia z liczby $1+i$ na płaszczyźnie zespolonej tworzą wierzchołki trójkąta foremnego.

Interpretacja geometryczna: W interpretacji geometrycznej punkty przedstawiające pierwiastki stopnia $n$ liczby zespolonej tworzą wierzchołki $n$ -kąta foremnego mającego środek w początku układu współrzędnych, wpisanego w okrąg o promieniu ${\sqrt[{n}]{|z|}}$ , przy czym wektor wodzący wierzchołka o indeksie 0 jest pod kątem $\phi /n$ do osi rzeczywistej układu współrzędnych. Ilustrują to przykłady.

Przykłady

Przykład 1: Pierwiastek kwadratowy z $z=i$

Dwa pierwiastki zespolone 2-go stopnia dla *$z=i$*

Niech będzie dana liczba czysto urojona $z=i$ . Liczba ta ma zerową część rzeczywistą, tj. $z=0+1\cdot i\,$ . Mamy więc moduł $|z|=1$ , argument główny $\phi ={\frac {\pi }{2}}$ , stąd postać trygonometryczna $z=i=\cos {\big (}{\tfrac {\pi }{2}}{\big )}+i\cdot \sin {\big (}{\tfrac {\pi }{2}}{\big )}$

Z wzoru Moivre'a mamy pierwiastki 2-go stopnia z $z=i$

$w_{0}=\cos {\big (}{\tfrac {\pi }{4}}{\big )}+i\cdot \sin {\big (}{\tfrac {\pi }{4}}{\big )}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+i\cdot {\tfrac {1}{\sqrt {2}}}\,$ $w_{1}=\cos {\tfrac {5\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {5\pi }{4}}=-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}-i{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$

Pierwiastki te są leżą po przeciwnych stronach początku układu współrzędnych.

Przykład 2: Pierwiastki 2-go stopnia z -1

Niech będzie dana liczba $z=-1$ . W dziedzinie liczb rzeczywistych nie istnieje pierwiastek algebraiczny z liczby ujemnej stopnia parzystego. Jednak w dziedzinie liczb zespolonych liczba -1 jest liczbą o zerowej części urojonej i ma de facto postać $z=-1+0\cdot i\,$ . Mamy więc moduł $|z|=1$ , argument główny $\phi =\pi$ , stąd postać trygonometryczna: $z=-1=\cos(\pi )+i\cdot \sin(\pi )$

Z wzoru Moivre'a mamy pierwiastki 2-go stopnia z $z=-1$

w_{0}=\cos {\big (}{\tfrac {\pi }{2}}{\big )}+i\cdot \sin {\big (}{\tfrac {\pi }{2}}{\big )}=i

w_{1}=\cos {\big (}{\tfrac {3\pi }{2}}{\big )}+i\cdot \sin {\big (}{\tfrac {3\pi }{2}}{\big )}=-i

W dziedzinie zespolonej istnieją więc dwa pierwiastki kwadratowe z $z=-1$ . Są nimi: $+i$ oraz $-i$ . (Każda liczba zespolona jest punktem na płaszczyźnie, w tym $-1$ , sytuacja jest więc inna, niż w przypadku obliczania pierwiastków w dziedzinie rzeczywistej, gdzie liczby są punktami na prostej).

Trzy pierwiastki zespolone 3-go stopnia dla $z=-1$

Przykład 3: Pierwiastki 3-go stopnia z -1

Aby obliczyć pierwiastki 3-go stopnia korzystamy z postaci trygonometrycznej $z=-1=\cos \pi +i\sin \pi$ oraz wzoru Moivre'a:

w_{0}=\cos {\big (}{\tfrac {\pi }{3}}{\big )}+i\cdot \sin {\big (}{\tfrac {\pi }{3}}{\big )}={\tfrac {1}{2}}+i\cdot {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}\,

w_{1}=\cos {\big (}{\tfrac {3\pi }{3}}{\big )}+i\cdot \sin {\big (}{\tfrac {3\pi }{3}}{\big )}=-1\,

w_{2}=\cos {\big (}{\tfrac {5\pi }{3}}{\big )}+i\cdot \sin {\big (}{\tfrac {5\pi }{3}}{\big )}={\tfrac {1}{2}}-i\cdot {\tfrac {\sqrt {3}}{2}}

Przykłady powyższe ilustrują ogólna prawidłowość, iż każda liczba zespolona $z$ ma $n$ pierwiastków $n$ -tego stopnia - w tym liczby zespolone czysto rzeczywiste, które nie mają pierwiastków algebraicznych w dziedzinie liczb rzeczywistych.

Twierdzenia - pierwiastki zespolone. Subtelność funkcji wielowartościowych

W dziedzinie pierwiastków zespolonych obowiązują te same twierdzenia, co w dziedzinie liczb rzeczywistych, ale posługiwanie się nimi wymaga uwagi ze względu na wielowartościowość pierwiastków zespolonych. Np. zakładając słuszność twierdzenia ${\sqrt[{n}]{(z_{1}\cdot z_{2})}}\ ={\sqrt[{n}]{z}}_{1}\cdot {\sqrt[{n}]{z}}_{2}\,$ otrzymamy

{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}

Ale

{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}=i\cdot i=i^{2}=-1

zaś

{\sqrt {(-1\cdot -1)}}={\sqrt {1}}=1

– czyli sprzeczność. Sprzeczność wynika stąd, że w obliczeniach nie uwzględniono faktu, iż pierwiastki kwadratowe z liczb ${\sqrt {-1}}$ oraz ${\sqrt {1}}$ w dziedzinie liczb zespolonych mają po dwie wartości:

{\sqrt {-1}}={\begin{cases}+i\\-i\end{cases}}\quad

oraz

\quad {\sqrt {1}}={\begin{cases}+1\\-1\end{cases}}

Wtedy mamy:

{\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\begin{cases}i\cdot i=-1\\{\text{lub}}\\i\cdot (-i)=1\end{cases}}\quad

czyli dostajemy dwa wyniki, identyczne jak dla pierwiastka z 1.

Historia

Nazwy

Początki symbolu pierwiastka √ są dość niejasne. Niektóre źródła podają, że symbol został wprowadzony przez Arabów, a po raz pierwszy został on użyty przez Abū al-Hasana ibn Alego al-Qalasādīego (1421–1486) i został wyprowadzony z arabskiej litery ج, pierwszej litery słowa جذر (dżazr) oznaczającego „korzeń”. Wielu, w tym Leonhard Euler^[2] sądziło, że pochodzi on od litery r, pierwszej litery łacińskiego słowa radix (również oznaczającego „korzeń”), które oznacza to samo działanie matematyczne.

Nieużywany w języku polskim termin surd, traktowany niekiedy jako nazwa symbolu √^[3], pochodzi z czasów al-Khwārizmīego (ok. 825), który liczby wymierne i niewymierne nazywał odpowiednio „słyszalnymi” i „niesłyszalnymi”. W związku z tym arabskie assam („głuchy, głupi”) oznaczające liczbę niewymierną było później tłumaczone na łacinę jako surdus („głuchoniemy”). Gerard z Cremony (ok. 1150), Fibonacci (1202), a potem Robert Recorde (1551) używali tego terminu w odniesieniu do nierozwiązanych pierwiastków niewymiernych^[4].

Symbole

Symbolu √ użyto po raz pierwszy w druku bez vinculum (poziomej kreski nad liczbami wewnątrz symbolu pierwiastka) w 1525 roku w Die Coss autorstwa niemieckiego matematyka Christoffa Rudolffa. Vinculum wprowadził Kartezjusz w Geometrii (1637) do zaznaczania, jakie wyrażenie algebraiczne podlega pierwiastkowaniu^[3].

Stosowana przez Kartezjusza notacja dla pierwiastków stopnia wyższego niż dwa nie przyjęła się (np. ${\sqrt[{3}]{x}}$ Kartezjusz zapisywał jako ${\sqrt {C.x}}$ ^[e])^[3]. Współczesną notację stopnia pierwiastka zaproponował Albert Girard w pracy z 1629 roku; utrwaliła się ona w pierwszej połowie XVIII w.^[5]

Typografia

Niżej przedstawiono kody znaków symboli pierwiastka. W notacji angielskiej znak pierwiastka występuje bez wiążącej kreski górnej^[6].

Znak	Nazwa polska^[f]	Nazwa unikodowa	Unikod	Encja HTML			URL
Znak	Nazwa polska^[f]	Nazwa unikodowa	Unikod	dec	hex	name	URL
√	pierwiastek kwadratowy	SQUARE ROOT	U+221A	√	√	√	%E2%88%9A
∛	pierwiastek sześcienny	CUBE ROOT	U+221B	∛	∛	–	%E2%88%9B
∜	pierwiastek czwartego stopnia	FOURTH ROOT	U+221C	∜	∜	–	%E2%88%9C
‾	kreska wiążąca górna	OVERLINE	U+203E	‾	‾	&oline;	%E2%80%BE
‾	kreska wiążąca górna dostawna	COMBINING OVERLINE	U+0305	̅	̅	–	%00%CC%85

W LaTeX-u:

pierwiastek ${\sqrt {x}}$ zapisywany jest jako \sqrt x;
pierwiastek ${\sqrt[{k}]{x}}$ zapisywany jest jako \sqrt[k] x.

Zobacz też

pierwiastek kwadratowy
pierwiastek sześcienny
pierwiastki zespolone z jedynki
wzór de Moivre'a
algorytm Newtona numerycznego obliczania pierwiastka n-tego stopnia (dla liczby rzeczywistej)

Inne:

Pomoc Wikipedii: Pierwiastki we wzorach matematycznych - nt. edycji wzorów za pomocą kodu

Uwagi

↑ Co więcej, dla każdej liczby zespolonej $z$ , pierwiastek $n$ -tego stopnia istnieje, i ma dokładnie $n$ wartości – jest to wniosek tak zwanego zasadniczego twierdzenia algebry, którego dowód jest nietrywialny.
↑ Ponadto, jeśli mamy do czynienia z pewnym równaniem, z wykorzystaniem pojęcia pierwiastka, np. równaniem następującej postaci: ${\sqrt {x+3}}=x+1$ ; to wówczas odpowiednie wyrażenie/wyrażenia pod każdym z pojawiających się w samym równaniu, znaków pierwiastka, możemy określać mianem: wyrażenie podpierwiastkowe.
↑ Tym, co warto tutaj wspomnieć, jest fakt, że często w praktyce matematycznej, w kontekście rozwiązań (ogólnie) dla równań matematycznych, pojawia się także słowo pierwiastek, ale już nie w znaczeniu pierwiastka arytmetycznego czy też pierwiastka algebraicznego; a w znaczeniu, po prostu: rozwiązanie [tego równania]. Tak więc tutaj, moglibyśmy też (z zachowaniem poprawności) powiedzieć nie tylko, że pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x$ , jest rozwiązaniem równania $y^{n}-x=0$ [...], ale także, że pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x$ , jest pierwiastkiem równania $y^{n}-x=0$ [...]. Tego rodzaju użycie słowa pierwiastek, pojawia się w szczególności przy okazji wielomianów i funkcji wielomianowych – por. pierwiastek wielomianu.
↑ Dowód nie wprost. Niech dla pewnej liczby naturalnej $n$ jej pierwiastek ${\sqrt {n}}$ będzie niecałkowitą liczbą wymierną; wówczas $0<q={\sqrt {n}}-\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor <1$ i istnieją takie liczby naturalne, które mnożone przez $q$ dają liczby naturalne. Najmniejsza z nich (istnieje na mocy zasady dobrego uporządkowania) będzie oznaczana literą $k;$ niech ponadto $l=kq,$ która jest mniejszą od $k.$ Wtedy $lq=kq^{2}=kn-2k{\sqrt {n}}\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor +k\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ^{2}=kn-2k\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ^{2}+k\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ^{2}-2kq\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$ jest liczbą całkowitą, gdyż wyrazy sumy są iloczynami liczb całkowitych, w ten sposób $l$ przeczy minimalności $k,$ co kończy dowód.
↑ $C$ od łac. cube, sześcian; zob. Definicja.
↑ Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.

Przypisy

↑ Pierwiastek, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .
↑ Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis. 1755. (łac.).
1 2 3 Kartezjusz: Geometria. Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka (tłum., komentarz). Kraków: TAiWPN UNIWERSITAS, 2015, s. 12, 15, 166, 299. ISBN 978-83-242-2759-4.
↑ Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Mathematics Pages by Jeff Miller. [dostęp 2008-11-30].
↑ A.P. Juszkiewicz: Historia matematyki. Matematyka XVII stulecia. T. 2. 1976, s. 46. (pol.).
↑ Oxford Advanced Learner’s Dictionary of Current English. T. 2: L-Z. Warszawa: Oxford University Press/PWN, 1988, s. 737. ISBN 83-01-02448-8.

Bibliografia

I. N. Bronsztejn, K. A. Siemiendiajew, Poradnik encyklopedyczny Matematyka, PWN, Warszawa 2019, str. 578-579.
T. Trajdos, Matematyka dla inżynierów, PWN, Warszawa 1974, str. 412-416.

Linki zewnętrzne

KarolK. Gryszka KarolK., Pierwiastkowanie pod kreską, „Delta”, luty 2018, ISSN 0137-3005 [dostęp 2024-11-03] .
Algebra – pierwiastkowanie, Khan Academy, kanał „KhanAcademyPoPolsku” na YouTube [dostęp 2025-10-28].
Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., nth Root, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2026-02-04].

[1] Co więcej, dla każdej liczby zespolonej $z$ , pierwiastek $n$ -tego stopnia istnieje, i ma dokładnie $n$ wartości – jest to wniosek tak zwanego zasadniczego twierdzenia algebry, którego dowód jest nietrywialny.

[2] Ponadto, jeśli mamy do czynienia z pewnym równaniem, z wykorzystaniem pojęcia pierwiastka, np. równaniem następującej postaci: ${\sqrt {x+3}}=x+1$ ; to wówczas odpowiednie wyrażenie/wyrażenia pod każdym z pojawiających się w samym równaniu, znaków pierwiastka, możemy określać mianem: wyrażenie podpierwiastkowe.

[3] Tym, co warto tutaj wspomnieć, jest fakt, że często w praktyce matematycznej, w kontekście rozwiązań (ogólnie) dla równań matematycznych, pojawia się także słowo pierwiastek, ale już nie w znaczeniu pierwiastka arytmetycznego czy też pierwiastka algebraicznego; a w znaczeniu, po prostu: rozwiązanie [tego równania]. Tak więc tutaj, moglibyśmy też (z zachowaniem poprawności) powiedzieć nie tylko, że pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x$ , jest rozwiązaniem równania $y^{n}-x=0$ [...], ale także, że pierwiastek stopnia $n$ z liczby $x$ , jest pierwiastkiem równania $y^{n}-x=0$ [...]. Tego rodzaju użycie słowa pierwiastek, pojawia się w szczególności przy okazji wielomianów i funkcji wielomianowych – por. pierwiastek wielomianu.

[4] Dowód nie wprost. Niech dla pewnej liczby naturalnej $n$ jej pierwiastek ${\sqrt {n}}$ będzie niecałkowitą liczbą wymierną; wówczas $0<q={\sqrt {n}}-\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor <1$ i istnieją takie liczby naturalne, które mnożone przez $q$ dają liczby naturalne. Najmniejsza z nich (istnieje na mocy zasady dobrego uporządkowania) będzie oznaczana literą $k;$ niech ponadto $l=kq,$ która jest mniejszą od $k.$ Wtedy $lq=kq^{2}=kn-2k{\sqrt {n}}\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor +k\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ^{2}=kn-2k\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ^{2}+k\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor ^{2}-2kq\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor$ jest liczbą całkowitą, gdyż wyrazy sumy są iloczynami liczb całkowitych, w ten sposób $l$ przeczy minimalności $k,$ co kończy dowód.

[9] $C$ od łac. cube, sześcian; zob. Definicja.

[12] Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.

[5] Pierwiastek, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-07-28] .

[6] Leonhard Euler: Institutiones calculi differentialis. 1755. (łac.).

[Kartezjusz-7] 1 2 3 Kartezjusz: Geometria. Piotr Błaszczyk, Kazimierz Mrówka (tłum., komentarz). Kraków: TAiWPN UNIWERSITAS, 2015, s. 12, 15, 166, 299. ISBN 978-83-242-2759-4.

[8] Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics. Mathematics Pages by Jeff Miller. [dostęp 2008-11-30].

[10] A.P. Juszkiewicz: Historia matematyki. Matematyka XVII stulecia. T. 2. 1976, s. 46. (pol.).

[11] Oxford Advanced Learner’s Dictionary of Current English. T. 2: L-Z. Warszawa: Oxford University Press/PWN, 1988, s. 737. ISBN 83-01-02448-8.

[a]

[b]

[c]

[d]

[1]

[2]

[3]

[4]

[e]

[5]

[6]

[f]