Produto fibrado de esquemas

Na matemática, especificamente na geometria algébrica, o produto fibrado de esquemas é uma construção fundamental. Ele tem muitas interpretações e casos especiais. Por exemplo, o produto fibrado descreve como uma variedade algébrica sobre um corpo determina uma variedade sobre um corpo maior, ou a imagem inversa (pullback) de uma família de variedades, ou uma fibra de uma família de variedades. Mudança de base (base change) é uma noção intimamente relacionada.

A categoria dos esquemas é um cenário amplo para a geometria algébrica. Uma filosofia frutífera (conhecida como ponto de vista relativo de Grothendieck) é a de que grande parte da geometria algébrica deve ser desenvolvida para um morfismo de esquemas ${\displaystyle X\to Y}$ (chamado de esquema ${\displaystyle X}$ sobre ${\displaystyle Y}$), em vez de para um único esquema ${\displaystyle X}$. Por exemplo, em vez de simplesmente estudar curvas algébricas, pode-se estudar famílias de curvas sobre qualquer esquema base ${\displaystyle Y}$. De fato, as duas abordagens se enriquecem mutuamente.

Em particular, um esquema sobre um anel comutativo ${\displaystyle R}$ significa um esquema ${\displaystyle X}$ juntamente com um morfismo ${\displaystyle X\to \operatorname {Spec} (R)}$. A noção mais antiga de uma variedade algébrica sobre um corpo ${\displaystyle k}$ é equivalente a um esquema sobre ${\displaystyle k}$ com certas propriedades. (Existem diferentes convenções sobre exatamente quais esquemas devem ser chamados de "variedades". Uma escolha padrão é que uma variedade sobre um corpo ${\displaystyle k}$ significa um esquema separado e íntegro de tipo finito sobre ${\displaystyle k}$.^[1])

Em geral, um morfismo de esquemas ${\displaystyle X\to Y}$ pode ser imaginado como uma família de esquemas parametrizada pelos pontos de ${\displaystyle Y}$. Dado um morfismo de algum outro esquema ${\displaystyle Z}$ para ${\displaystyle Y}$, deve haver uma família de esquemas "puxada de volta" (pullback) sobre ${\displaystyle Z}$. Este é exatamente o produto fibrado ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$.

Formalmente: é uma propriedade útil da categoria de esquemas que o produto fibrado sempre existe.^[2] Ou seja, para quaisquer morfismos de esquemas ${\displaystyle X\to Y}$ e ${\displaystyle Z\to Y}$, existe um esquema ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ com morfismos para ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Z}$, tornando o diagrama

comutativo, e que é universal com essa propriedade. Isto é, para qualquer esquema ${\displaystyle W}$ com morfismos para ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Z}$ cujas composições para ${\displaystyle Y}$ sejam iguais, existe um único morfismo de ${\displaystyle W}$ para ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ que faz o diagrama comutar. Como sempre ocorre com propriedades universais, essa condição determina o esquema ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ a menos de um único isomorfismo, se ele existir. A demonstração de que os produtos fibrados de esquemas sempre existem reduz o problema ao produto tensorial de anéis comutativos (cf. colagem de esquemas). Em particular, quando ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$ são todos esquemas afins, de modo que ${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (A)}$, ${\displaystyle Y=\operatorname {Spec} (B)}$ e ${\displaystyle Z=\operatorname {Spec} (C)}$ para alguns anéis comutativos ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, o produto fibrado é o esquema afim

${\displaystyle X\times _{Y}Z=\operatorname {Spec} (A\otimes _{B}C).}$

O morfismo ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ é chamado de mudança de base (base change) ou imagem inversa (pullback) do morfismo ${\displaystyle X\to Y}$ através do morfismo ${\displaystyle Z\to Y}$.

Em alguns casos, o produto fibrado de esquemas possui um adjunto à direita, a restrição de escalares.

• Na categoria de esquemas sobre um corpo ${\displaystyle k}$, o produto ${\displaystyle X\times Y}$ significa o produto fibrado ${\displaystyle X\times _{k}Y}$ (que é uma abreviação para o produto fibrado sobre ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$). Por exemplo, o produto de espaços afins ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m}}$ e ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ sobre um corpo ${\displaystyle k}$ é o espaço afim ${\displaystyle \mathbb {A} ^{m+n}}$ sobre ${\displaystyle k}$.
• Para um esquema ${\displaystyle X}$ sobre um corpo ${\displaystyle k}$ e qualquer extensão de corpos ${\displaystyle E}$ de ${\displaystyle k}$, a mudança de base ${\displaystyle X_{E}}$ significa o produto fibrado ${\displaystyle X\times _{\operatorname {Spec} (k)}\operatorname {Spec} (E)}$. Aqui, ${\displaystyle X_{E}}$ é um esquema sobre ${\displaystyle E}$. Por exemplo, se ${\displaystyle X}$ é a curva no plano projetivo ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {R} }^{2}}$ sobre os números reais ${\displaystyle \mathbb {R} }$ definida pela equação ${\displaystyle xy^{2}=7z^{3}}$, então ${\displaystyle X_{\mathbb {C} }}$ é a curva complexa em ${\displaystyle \mathbb {P} _{\mathbb {C} }^{2}}$ definida pela mesma equação. Muitas propriedades de uma variedade algébrica sobre um corpo ${\displaystyle k}$ podem ser definidas em termos de sua mudança de base para o fecho algébrico de ${\displaystyle k}$, o que torna a situação mais simples.
• Seja ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ um morfismo de esquemas, e seja ${\displaystyle y}$ um ponto em ${\displaystyle Y}$. Então existe um morfismo ${\displaystyle \operatorname {Spec} (k(y))\to Y}$ com imagem ${\displaystyle y}$, onde ${\displaystyle k(y)}$ é o corpo residual de ${\displaystyle y}$. A fibra de ${\displaystyle f}$ sobre ${\displaystyle y}$ é definida como o produto fibrado ${\displaystyle X\times _{Y}\operatorname {Spec} (k(y))}$; este é um esquema sobre o corpo ${\displaystyle k(y)}$.^[3] Este conceito ajuda a justificar a ideia geral de um morfismo de esquemas ${\displaystyle X\to Y}$ como uma família de esquemas parametrizada por ${\displaystyle Y}$.
• Sejam ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle Y}$ e ${\displaystyle Z}$ esquemas sobre um corpo ${\displaystyle k}$, com morfismos ${\displaystyle X\to Y}$ e ${\displaystyle Z\to Y}$ sobre ${\displaystyle k}$. Então o conjunto de pontos racionais sobre ${\displaystyle k}$ do produto fibrado ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ é fácil de descrever:

${\displaystyle (X\times _{Y}Z)(k)=X(k)\times _{Y(k)}Z(k).}$

Ou seja, um ${\displaystyle k}$-ponto de ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ pode ser identificado com um par de ${\displaystyle k}$-pontos de ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Z}$ que têm a mesma imagem em ${\displaystyle Y}$. Isso decorre imediatamente da propriedade universal do produto fibrado de esquemas.

• Se ${\displaystyle X}$ e ${\displaystyle Z}$ são subesquemas fechados de um esquema ${\displaystyle Y}$, então o produto fibrado ${\displaystyle X\times _{Y}Z}$ é exatamente a interseção teórica de esquemas ${\displaystyle X\cap Z}$, com sua estrutura natural de esquema.^[4] O mesmo vale para subesquemas abertos.

Algumas propriedades importantes P dos morfismos de esquemas são preservadas sob mudança de base arbitrária. Ou seja, se ${\displaystyle X\to Y}$ tem a propriedade P e ${\displaystyle Z\to Y}$ é qualquer morfismo de esquemas, então a mudança de base ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ tem a propriedade P. Por exemplo, morfismos planos, morfismos suaves, morfismos próprios e muitas outras classes de morfismos são preservadas sob mudança de base arbitrária.^[5]

A palavra descida (descent) refere-se à questão inversa: se o morfismo puxado de volta (pullback) ${\displaystyle X\times _{Y}Z\to Z}$ possui alguma propriedade P, o morfismo original ${\displaystyle X\to Y}$ deve ter a propriedade P? Claramente, isso é impossível em geral: por exemplo, ${\displaystyle Z}$ poderia ser o esquema vazio, caso em que o morfismo de imagem inversa perde todas as informações sobre o morfismo original. Mas se o morfismo ${\displaystyle Z\to Y}$ for plano e sobrejetivo (também chamado de fielmente plano) e quase-compacto, então muitas propriedades de fato descendem de ${\displaystyle Z}$ para ${\displaystyle Y}$. As propriedades que descendem incluem planura, suavidade, propriedade (ser próprio) e muitas outras classes de morfismos.^[6] Esses resultados formam parte da teoria de descida fielmente plana de Grothendieck.

Exemplo: para qualquer extensão de corpo ${\displaystyle k\subset E}$, o morfismo ${\displaystyle \operatorname {Spec} (E)\to \operatorname {Spec} (k)}$ é fielmente plano e quase-compacto. Portanto, os resultados de descida mencionados implicam que um esquema ${\displaystyle X}$ sobre ${\displaystyle k}$ é suave sobre ${\displaystyle k}$ se e somente se a mudança de base ${\displaystyle X_{E}}$ for suave sobre ${\displaystyle E}$. O mesmo se aplica a morfismos próprios e a muitas outras propriedades.

• Esquema (matemática)
• Alexander Grothendieck