Cykloida

Część cykloidy – cała krzywa zawiera nieskończenie wiele kopii takiego łuku, co pokazuje animacja niżej

Konstrukcja cykloidy jako rodzaju trajektorii (toru ruchu)

Cykloida – rodzaj krzywej płaskiej, który można definiować ruchem okręgu. Cykloida to tor (trajektoria) punktu na okręgu toczącym się – bez poślizgu – po prostej^[1]. Równoważna definicja opiera się na geometrii analitycznej – opisie tego ruchu w układzie współrzędnych. Odpowiednie wzory – dla układu kartezjańskiego – podano niżej.

Rozważania cykloidy zaczęto najpóźniej w XVII wieku – pisał o niej Galileusz^[1]. Dzięki pracom różnych matematyków i wynalazców poznano między innymi:

zastosowania tej krzywej, np. do konstrukcji wahadeł^[1];
specjalne narzędzie do rysunku takich linii – cykloidograf^[2];
uogólnienia jak te opisane niżej oraz epicykloidy, hipocykloidy i inne krzywe cykliczne.

Równania

Cykloida opisana jest równaniami parametrycznymi postaci^[3]:

x=r{\begin{pmatrix}t-\sin t\end{pmatrix}}

y=r{\begin{pmatrix}1-\cos t\end{pmatrix}},

gdzie:

t\in \mathbb {R} ,\ r>0.

Rozwiązując równania ogólne dla $t,$ otrzymuje się:

x=2\pi rk\pm \left(r\,\arccos \left(1-{\frac {y}{r}}\right)-{\sqrt {y(2r-y)}}\right),

gdzie:

k\in \mathbb {Z} ,\ r>0,\ 0\leqslant y\leqslant 2r.

Własności

Cykloida jest też związana z zagadnieniem:

krzywej najkrótszego spadku (brachistochrony) będącej fragmentem łuku cykloidy,
krzywej będącej odwróconą cykloidą (tautochroną), po której masa punktowa stacza się do najniższego punktu krzywej w takim samym czasie, niezależnie od punktu startowego na tej krzywej.

Uogólnienia

Uogólnieniem zwykłej cykloidy są cykloidy skrócone i wydłużone, zdefiniowane niżej. Bywają nazywane trochoidami^[4], ale to słowo ma też inne znaczenia – m.in. dużo szersze, obejmujące także cykloidę i inne krzywe cykliczne^[5].

Równania ogólne postaci^[6]^[7]:

x=rt-c\cdot \sin t

y=r-c\cdot \cos t,

gdzie:

t\in \mathbb {R} ,\ r>0,\ c>0.

Zależność odległości $c$ punktu zakreślającego krzywą od środka toczącego się koła i promienia $r$ tego koła jest następująca:

dla $c<r$ cykloidę skróconą^[4], zakreślaną przez ustalony punkt leżący wewnątrz toczącego się koła^[6] (linia czerwona na poniższym rysunku),
dla $c>r$ cykloidę wydłużoną^[4], zakreślaną przez ustalony punkt leżący na zewnątrz koła^[7] (linia niebieska).
dla $c=r$ zwykłą cykloidę, zakreślaną przez punkt na brzegu koła (linia zielona).

Cykloidy (wydłużona, zwykła i skrócona) dla punktu położonego w różnych miejscach koła o promieniu $r=1$

Miary

Długość łuku

Długość łuku $S$ jednego przęsła cykloidy jest równa czterem średnicom toczącego się koła :

S=8r

Dowód

Długość jednego przęsła cykloidy ( $0\leq t\leq 2\pi$ ) wyraża się wzorem:

S=\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt

Dla parametryzacji:

x=r(t-\sin t)

y=r(1-\cos t)

otrzymujemy:

{\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t)

{\frac {dy}{dt}}=r\sin t

stąd:

S=r\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {(1-\cos t)^{2}+\sin ^{2}t}}\,dt

=r\int _{0}^{2\pi }{\sqrt {2-2\cos t}}\,dt

=2r\int _{0}^{2\pi }\sin {\frac {t}{2}}\,dt=8r

Pole powierzchni

Pole pod jednym łukiem jest trzykrotnie większe od pola koła toczącego się bez poślizgu, tj.

A=3\pi r^{2}

Dowód

Pole jednego przęsła (dla $0\leq t\leq 2\pi$ ) liczymy ze wzoru:

A=\int y\,dx

Ponieważ krzywa jest zadana parametrycznie, mamy:

dx={\frac {dx}{dt}}\,dt

Obliczamy pochodną:

{\frac {dx}{dt}}=r(1-\cos t)

Podstawiając do całki:

A=\int _{0}^{2\pi }y(t){\frac {dx}{dt}}\,dt

otrzymujemy:

A=\int _{0}^{2\pi }r(1-\cos t)\,r(1-\cos t)\,dt

czyli:

A=r^{2}\int _{0}^{2\pi }(1-\cos t)^{2}\,dt

Rozwijamy kwadrat:

(1-\cos t)^{2}=1-2\cos t+\cos ^{2}t

oraz korzystamy z tożsamości:

\cos ^{2}t={\frac {1+\cos 2t}{2}}

Stąd:

A=r^{2}\int _{0}^{2\pi }\left(1-2\cos t+{\frac {1+\cos 2t}{2}}\right)dt

Całki z $\cos t$ i $\cos 2t$ po pełnym okresie znikają:

\int _{0}^{2\pi }\cos t\,dt=0,\qquad \int _{0}^{2\pi }\cos 2t\,dt=0

pozostaje więc:

A=r^{2}\int _{0}^{2\pi }{\frac {3}{2}}\,dt=r^{2}\cdot {\frac {3}{2}}\cdot 2\pi =3\pi r^{2}

, cnd.

Zobacz też

Przypisy

1 2 3 cykloida, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2026-01-18] .
↑ cykloidograf, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-16] .
↑ Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
1 2 3 trochoida, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-07-05] .
↑ ElżbietaE. Bobik ElżbietaE., Magia cykloid, „Delta”, lipiec 1991, ISSN 0137-3005 [dostęp 2026-01-17] .
1 2 Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Curtate Cycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).
1 2 Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Prolate Cycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

Linki zewnętrzne

Agnieszka Prusińska, Cykloida i okolice, rocznik „Matematyka Poglądowa”, Ośrodek Kultury Matematycznej – Uniwersytet w Siedlcach (OKM UwS), 2019 [dostęp 2026-02-06].
Cycloid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-19].
Cycloid (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].

[epwn-1] 1 2 3 cykloida, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2026-01-18] .

[epwn-cg-2] cykloidograf, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2021-10-16] .

[3] Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

[epwn-t-4] 1 2 3 trochoida, [w:] Encyklopedia PWN [online], Wydawnictwo Naukowe PWN [dostęp 2024-07-05] .

[5] ElżbietaE. Bobik ElżbietaE., Magia cykloid, „Delta”, lipiec 1991, ISSN 0137-3005 [dostęp 2026-01-17] .

[skrócona-6] 1 2 Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Curtate Cycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

[wydłużona-7] 1 2 Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Prolate Cycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.).

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]