Suma alikwotowa

Suma alikwotowa - suma wszystkich dzielników właściwych, tj. wszystkich dodatnich dzielników liczby ${\displaystyle n}$ różnych od samej liczby ${\displaystyle n}$ dodatniej liczby naturalnej ${\displaystyle n}$. Definiuje ją wzór ${\displaystyle s(n):\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$:

${\displaystyle s(n):=\sum _{{d|n,} \atop {d\neq n}}d}$.

Dzielnikami właściwymi liczby ${\displaystyle 12}$ są liczby ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 4}$ oraz ${\displaystyle 6}$, zatem suma alikwotowa liczby ${\displaystyle 12}$ wynosi ${\displaystyle 16}$:

${\displaystyle s(12)=1+2+3+4+6=16}$.

Wartości ${\displaystyle s(n)}$ dla ${\displaystyle n=1}$, ${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle \ldots }$ wynoszą odpowiednio:

${\displaystyle 0}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 3}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 6}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 7}$, ${\displaystyle 4}$, ${\displaystyle 8}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 16}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 10}$, ${\displaystyle 9}$, ${\displaystyle 15}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 21}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 22}$, ${\displaystyle 11}$, ${\displaystyle 14}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 36}$, ${\displaystyle 6}$, ${\displaystyle 16}$, ${\displaystyle 13}$, ${\displaystyle 28}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 42}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 31}$, ${\displaystyle 15}$, ${\displaystyle 20}$, ${\displaystyle 13}$, ${\displaystyle 55}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 22}$, ${\displaystyle 17}$, ${\displaystyle 50}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 54}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 40}$, ${\displaystyle 33}$, ${\displaystyle 26}$, ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle 76}$, ${\displaystyle 8}$, ${\displaystyle 43}$, ...

Funkcja sumy alikwotowej może posłużyć do scharakteryzowania pewnych klas liczbowych:

• ${\displaystyle 1}$ jest jedyną liczbą, której suma alikwotowa wynosi ${\displaystyle 0}$.
• Liczba jest liczbą pierwszą wtedy i tylko wtedy, gdy jej suma alikwotowa wynosi ${\displaystyle 1}$.
• Sumy alikwotowe liczby doskonałej, liczby deficytowej oraz liczby nadmiarowej są odpowiednio równe, mniejsze i większe od tych liczb.
• Liczba niedotykalna jest liczbą, która nie stanowi sumy alikwotowej żadnej innej liczby.

Funkcja sumy alikwotowej występuje częściej w literaturze obcojęzycznej. W literaturze polskojęzycznej dominuje tradycja stosowania funkcji sigma, którą z funkcją sumy alikwotowej związana jest następująco:

${\displaystyle \sigma (n)=s(n)+n}$.

• Alexander A. Stepanov, Daniel E. Rose: Od matematyki do programowania uogólnionego. Z języka angielskiego przełożył Zdzisław Płoski. Wyd. 1. Gliwice: Helion, 2006. ISBN 978-83-283-1028-5.