Symbol nieoznaczony

Symbol nieoznaczony, wyrażenie nieoznaczone^[1] – wyrażenie algebraiczne, którego elementy należą do rozszerzonego zbioru liczb rzeczywistych i które nie ma sensu liczbowego; działanie arytmetyczne niewykonalne. Wyróżnia się ich siedem^[1]:

${\displaystyle {\tfrac {0}{0}},\;{\tfrac {\infty }{\infty }},\;\infty -\infty ,\;0\cdot \infty ,\;0^{0},1^{\infty },\;\infty ^{0}.}$

Są to umowne sposoby zapisu obliczeń granic funkcji. Granicy wyrażeń takich postaci nie można obliczyć, mając tylko informację o granicach funkcji, które składają się na całe wyrażenie. Do ich obliczenia można stosować przekształcenia algebraiczne lub regułę de l’Hospitala.

W niektórych kontekstach wartości takich symboli są definiowane:

• w kombinatoryce przyjmuje się, że ${\displaystyle 0^{0}=1}$ (zob. potęgowanie);
• w teorii miary przyjmuje się ${\displaystyle 0\cdot \infty =0}$.

Ciąg typu ${\displaystyle \infty -\infty }$ może:

• być zbieżny do dowolnej liczby rzeczywistej c, np.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }[(n+c)-n]=c;}$

• być rozbieżny do nieskończoności ${\displaystyle (+\infty }$ lub ${\displaystyle -\infty )}$, np.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(2n-n)=\infty ,}$

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(n-2n)=-\infty$ ;}

• nie mieć granicy (skończonej ani nieskończonej), np.

  ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }[(n+\sin n)-n]}$ nie istnieje.

• Jacek Dymel, Działania na ciągach rozbieżnych do nieskończoności. Symbole nieoznaczone. Przeczytaj, Zintegrowana Platforma Edukacyjna, zpe.gov.pl [dostęp 2023-11-24].
• Rafał Czyż, Leszek Gasiński, Marta Kosek, Jerzy Szczepański, Halszka Tutaj-Gasińska, Analiza matematyczna 1. Wykład 5: Obliczanie granic, wazniak.mimuw.edu.pl, 11 września 2023 [dostęp 2023-11-24].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Indeterminate, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-02-02].
• Indefinite limits and expressions, evaluations of (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-10-05].