Szereg geometryczny

Jeśli szereg geometryczny ${\displaystyle (a_{n})}$ ma iloraz ${\displaystyle q}$ to suma częściowa jego ${\displaystyle n}$ początkowych wyrazów wynosi:

${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}na_{1}&q=1\\{\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}&q\neq 1\end{cases}}}$.

Rozpatrzmy 2 przypadki:

• Niech szereg geometryczny ${\displaystyle (a_{n})}$ ma iloraz ${\displaystyle q\neq 1}$. Wówczas ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}}$, a z definicji ciągu geometrycznego ${\displaystyle a_{k}=a_{1}q^{k-1}}$, stąd: ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{1}q^{k-1}}$.
  Mnożąc obie strony przez ${\displaystyle q}$, otrzymujemy ${\displaystyle qS_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{1}q^{k}}$.
  Odejmując stronami pierwsze równanie od drugiego otrzymujemy ${\displaystyle qS_{n}-S_{n}=\left(\sum _{k=1}^{n}a_{1}q^{k}\right)-\left(\sum _{k=1}^{n}a_{1}q^{k-1}\right)=a_{1}q^{n}-a_{1}}$.
  Wyłączając wspólny czynnik: ${\displaystyle (q-1)S_{n}=a_{1}(q^{n}-1)}$.
  Ponieważ ${\displaystyle q\neq 1}$, można podzielić obie strony przez ${\displaystyle q-1}$. Otrzymujemy: ${\displaystyle S_{n}={\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}}$.
• Niech szereg geometryczny ${\displaystyle (a_{n})}$ ma iloraz ${\displaystyle q=1}$. Wówczas ${\displaystyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{1}=na_{1}}$.

Łącząc oba przypadki: ${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}na_{1}&q=1\\{\frac {a_{1}(q^{n}-1)}{q-1}}&q\neq 1\end{cases}}}$, q.e.d.

Szereg geometryczny ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}$ jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\displaystyle |q|<1}$ lub ${\displaystyle a=0.}$ Wówczas suma szeregu dana jest wzorem ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}={\frac {a}{1-q}}.}$

• Jeśli ${\displaystyle |q|<1,}$ to ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}={\frac {a}{1-q}},}$ gdyż ${\displaystyle q^{n}\to 0.}$
• Jeśli ${\displaystyle a=0,}$ to dla każdego ${\displaystyle n}$ zachodzi: ${\displaystyle a_{n}=0,}$ więc ${\displaystyle S_{n}=0,}$ a zatem ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=0.}$

Od teraz załóżmy, że ${\displaystyle a\neq 0.}$

• Jeśli ${\displaystyle |q|>1,}$ to ${\displaystyle {\Bigg |}{\frac {aq^{n}}{aq^{n-1}}}{\Bigg |}=|q|>1}$ i na mocy kryterium d’Alemberta szereg ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}$ jest rozbieżny.
• Jeśli ${\displaystyle q=1,}$ to ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}=\lim _{n\to \infty }an=\infty .}$
• Jeśli ${\displaystyle q=-1,}$ to wyraz ogólny szeregu ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}}$ jest postaci ${\displaystyle a(-1)^{n-1}.}$ Zatem

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }aq^{n-1}=a-a+a-a+a-a+\ldots }$

Stąd ${\displaystyle S_{n}=a,}$ gdy liczba ${\displaystyle n}$ jest nieparzysta oraz ${\displaystyle S_{n}=0,}$ gdy liczba ${\displaystyle n}$ jest parzysta. Zatem granica ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }S_{n}}$ nie istnieje.