Ciąg Fareya

Ciąg ułamków Fareya rzędu ${\displaystyle n}$ – rosnący ciąg ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n}}$ wszystkich nieskracalnych ułamków ${\displaystyle {\frac {h}{k}}}$ takich, że ${\displaystyle 1\leqslant k\leqslant n\wedge 0\leqslant h\leqslant k}$^[1].

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{5}=\left({\frac {0}{1}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{5}},{\frac {1}{2}},{\frac {3}{5}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {4}{5}},{\frac {1}{1}}\right)}$^[2].

• Twierdzenie Cauchy’ego-Fareya^[3].
• Dla ${\displaystyle N\geqslant 1}$ nie ma dwóch kolejnych ułamków o tym samym mianowniku^[4].
• Jeśli ${\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}},{\frac {h_{3}}{k_{3}}}}$ są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n},}$ to ${\displaystyle {\frac {h_{2}}{k_{2}}}={\frac {h_{1}+h_{3}}{k_{1}+k_{3}}}}$^[5].
• Jeśli ${\displaystyle {\frac {h_{1}}{k_{1}}},{\frac {h_{2}}{k_{2}}}}$ są kolejnymi ułamkami ciągu ułamków Fareya ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{n},}$ to ${\displaystyle k_{1}+k_{2}\geqslant n+1}$^[6].

Znaleźć liczby ${\displaystyle m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d}$ najbliższe ${\displaystyle {\sqrt {\frac {1}{2}}},}$ których mianowniki są mniejsze od 50.

Mamy:

${\displaystyle {\frac {0}{1}}<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<{\frac {1}{1}},}$

czyli

${\displaystyle {\frac {0}{1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},}$

zachodzi nierówność:

${\displaystyle {\frac {0+1}{1+1}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}},}$

więc:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.}$

Zauważamy, że skrajne wartości są najlepszymi oszacowaniami spośród liczb o mianowniku nie większym niż 2.

Stwierdzamy, że ${\displaystyle {\frac {1+1}{2+1}}={\frac {2}{3}}<{\sqrt {\frac {1}{2}}},}$

czyli:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}<{\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}},}$

a zatem:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {1}{1}}.}$

W kolejnych krokach dostajemy:

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {3}{4}}}$

${\displaystyle {\frac {2}{3}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {7}{10}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {5}{7}}}$

${\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {17}{24}}}$

${\displaystyle {\frac {12}{17}}\leqslant m<{\sqrt {\frac {1}{2}}}<d\leqslant {\frac {29}{41}}}$

Liczby ${\displaystyle {\frac {12}{17}}}$ oraz ${\displaystyle {\frac {29}{41}}}$ są kolejnymi liczbami w pięćdziesiątym ciągu Fareya, więc nie ma pomiędzy nimi liczby o mianowniku mniejszym niż 58, czyli są to poszukiwane liczby.

• drzewo Sterna-Brocota

• Ułamki Fareya, Wydział Matematyki i Nauk Informacyjnych Politechniki Warszawskiej (MiNI PW), kanał „Archipelag Matematyki” na YouTube, 27 lipca 2017 [dostęp 2024-09-04].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Farey Sequence, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).