Kryterium Bertranda

Kryterium Bertranda – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich.

Niech dany będzie szereg liczbowy

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$

(A)

o wyrazach dodatnich. Niech

${\displaystyle B_{n}={\bigg (}n\cdot {\Big (}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1{\Big )}-1{\bigg )}\cdot \ln n.}$

Wówczas

• szereg (A) jest zbieżny, gdy

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }B_{n}>1;}$

• szereg (A) jest rozbieżny, gdy

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }B_{n}<1}$^[1][2].

Niech

${\displaystyle c_{n}=n\cdot \ln n\quad (n\in \mathbb {N} ).}$

Ponieważ szereg

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n\cdot \ln n}}}$

jest rozbieżny (co wynika z zastosowania kryterium całkowego^[3]), kryterium Kummera się stosuje. W tym wypadku

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}&=c_{n}{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln(n+1)\\&=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\ln(n+1)-\ln(n+1)\\&=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln n\right)-\left(\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)+\ln n\right)\\&=n\cdot \ln n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)-n\ln n-\ln n\\&=\ln n\cdot \left(n{\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-n-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=\ln n\cdot \left(n\left({\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1\right)-1\right)-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\\&=B_{n}-\ln \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}.\end{aligned}}}$

Ponieważ

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\ln {\Big (}1+{\tfrac {1}{n}}{\Big )}^{n+1}=1,}$

teza kryterium Bertranda wynika wprost z zastosowania kryterium Kummera^[2][4].

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Wyd. 11. Warszawa: PWN, 1971.
• Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Bertrand's Test, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2025-07-15].
• Bertrand criterion (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].