Szereg Neumanna

Szereg Neumanna – szereg będący odwrotnością rezolwenty w przestrzeni unormowanej. Dla operatora ${\displaystyle T\colon X\to X}$ na przestrzeni unormowanej ${\displaystyle X}$ oznaczamy przez ${\displaystyle T^{0}={\text{id}}}$ oraz ${\displaystyle T^{k+1}=T^{k}\circ T}$ jego złożenie. Wtedy szeregiem Neumanna nazywamy szereg

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }T^{k}}$

zbieżny w normie operatorowej^[1][2].

Szereg nosi nazwisko Carla Neumanna, w którego pracy pojawił się po raz pierwszy w 1877 r. w kontekście teorii potencjału. Szereg Neumanna jest uogólnieniem szeregu potęgowego.

Jeżeli ${\displaystyle X}$ jest przestrzenią Banacha, ${\displaystyle \|\cdot \|_{X}}$ odpowiadającą normą operatorową oraz ${\displaystyle \|T\|_{X}<1}$, to oznaczając przez ${\displaystyle S_{n}}$ ciąg sum częściowych,

${\displaystyle \|S_{m}-S_{n}\|_{X}=\left\|\sum _{k=n+1}^{m}T^{k}\right\|_{X}\leqslant \sum _{k=n+1}^{m}\|T^{k}\|_{X}\leqslant \sum _{k=n+1}^{m}\|T\|_{X}^{k}\leqslant \sum _{k=n+1}^{\infty }\|T\|_{X}^{k}={\frac {\|T\|_{X}^{n+1}}{1-\|T\|_{X}}}}$,

dlatego ${\displaystyle S_{n}}$ jest ciągiem Cauchy'ego, więc jest zbieżny. Ponadto, wtedy

${\displaystyle ({\text{id}}-T)S_{n}=\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}T^{k}={\text{id}}-T^{n+1}}$,

co dąży do operatora identycznościowego, gdy ${\displaystyle n\to \infty }$ oraz

${\displaystyle S_{n}({\text{id}}-T)=\sum _{k=0}^{n}T^{k}-\sum _{k=1}^{n+1}T^{k}={\text{id}}-T^{n+1}}$,

więc szereg Neumanna jest równy ${\displaystyle ({\text{id}}-T)^{-1}}$. W ogólności, jeśli

${\displaystyle R_{\lambda }(T)=(T-\lambda {\text{id}})^{-1}}$

dla ${\displaystyle \lambda \in \rho (T)}$ (poza spektrum ${\displaystyle T}$) jest rezolwentą operatora ${\displaystyle T}$, to szereg Neumanna

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\lambda ^{k}T^{k}}$

jest równy ${\displaystyle R_{\lambda }(T)}$.

Korzystając z szeregu Neumanna można wykazać przy powyższych założeniach, że

${\displaystyle \|R_{\lambda }(T)\|_{X}\leqslant \sum _{k=0}^{\infty }|\lambda |^{k}\|T\|_{X}^{k}={\frac {1}{1-|\lambda |\|T\|_{X}}}}$.

Analogicznie można wykazać, że^[2]

${\displaystyle \|R_{\lambda }(T)-{\text{id}}\|_{X}\leqslant \sum _{k=1}^{\infty }|\lambda |^{k}\|T^{k}\|_{X}\leqslant {\frac {|\lambda |\|T\|_{X}}{1-|\lambda |\|T\|_{X}}}}$.

• Neumann series (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].