Kryterium Kummera

Kryterium Kummera (albo kryterium Diniego-Kummera^[1]) – kryterium zbieżności szeregów liczbowych o wyrazach dodatnich opublikowane w 1835^[2] przez Ernsta Kummera. W 1867 Ulisse Dini opuścił założenie $a_{n}\cdot c_{n}\to 0$ (zob. wypowiedź kryterium niżej), którego używał Kummer w swojej pracy^[1]. Inny dowód kryterium Kummera podał w 1994 Jingcheng Tong^[3].

Kryterium

Niech dany będzie szereg

\sum _{k=1}^{\infty }a_{k}

(A)

o wyrazach dodatnich oraz niech $(c_{n})$ będzie takim ciągiem o wyrazach dodatnich, że

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{c_{n}}}=\infty .

(C)

Niech ponadto

K_{n}=c_{n}\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-c_{n+1}\qquad (n\in \mathbb {N} ).

Jeżeli dla dostatecznie dużych $n$ oraz pewnego $r>0$ spełniona jest nierówność

K_{n}\geqslant r

to szereg (A) jest zbieżny.

Jeżeli zaś dla dostatecznie dużych $n$ spełniona jest nierówność

K_{n}\leqslant 0

to szereg (A) jest rozbieżny^[4].

Wersja graniczna kryterium

Kryterium Kummera można spotkać również w nieco słabszej, następującej wersji. Jeżeli ciąg $(K_{n})$ jest zbieżny do pewnego $K,$ to

szereg (A) jest zbieżny, gdy $K>0,$ oraz
szereg (A) jest rozbieżny, gdy $K<0$ ^[5].

W przypadku, gdy $K=0$ kryterium nie rozstrzyga.

Wyprowadzanie innych kryteriów z kryterium Kummera

Kryterium d’Alemberta

Niech $c_{n}=1$ dla wszelkich $n.$ Wówczas

K_{n}={\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-1.

Jeżeli ciąg

D_{n}={\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}

jest zbieżny do pewnego $K$ to również ciąg $(K_{n})$ jest zbieżny oraz $K=1/D-1.$ Jeżeli $D<1,$ to $K>0,$ a więc szereg (A) jest zbieżny. Jeżeli $D>1,$ to $K<0,$ a wówczas szereg (A) jest rozbieżny. Wynika stąd zatem kryterium d’Alemberta^[5].

Kryterium Raabego

Z rozbieżności szeregu harmonicznego

\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}

wynika, że ciąg $c_{n}=n$ spełnia założenia kryterium Kummera. Wówczas

K_{n}=n\cdot {\frac {a_{n}}{a_{n+1}}}-(n+1)=R_{n}-1,

gdzie $R_{n}$ jest takie jak w wypowiedzi kryterium Raabego. Wynika stąd zatem kryterium Raabego^[5]^[6].

Dowód

W przypadku, gdy dla prawie wszystkich $n$ spełniona jest nierówność $K_{n}\geqslant r>0,$ dla tych samych $n$ zachodzi także

c_{n}a_{n}-c_{n+1}a_{n+1}\geqslant r\cdot a_{n+1}.

Stąd

c_{n}a_{n}-c_{n+1}a_{n+1}>0,

a zatem

c_{n}a_{n}>c_{n+1}a_{n+1}.

Ciąg $(c_{n}\cdot a_{n})$ maleje monotonicznie, a więc (będąc ograniczonym z dołu) jest zbieżny do pewnej liczby. Oznacza to, że szereg

\sum _{n=1}^{\infty }(c_{n}a_{n}-c_{n+1}a_{n+1})

jest zbieżny, bo jego $n$ -ta suma częściowa wynosi $c_{1}\cdot a_{1}-c_{n+1}\cdot a_{n+1},$ a ciąg ten ma skończoną granicę. Z kryterium porównawczego wynika zbieżność szeregu

\sum _{n=1}^{\infty }r\cdot a_{n+1},

a więc i także samego szeregu (A)^[1].

W przypadku, gdy $K_{n}<0$ dla prawie wszystkich $n,$ dla tych $n$ zachodzi nierówność

{\frac {a_{n+1}}{a_{n}}}\geqslant {\frac {\tfrac {1}{c_{n+1}}}{\tfrac {1}{c_{n}}}}.

Z rozbieżności szeregu (C) wynika wówczas rozbieżność szeregu (A)^[1]^[5].

Przypisy

1 2 3 4 Stromberg 2015 ↓, s. 406.
↑ E. E. Kummer, Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 13, 171–184.
↑ J. Tong, Kummer’s test gives characterizations for convergence or divergence of all positive series, The American Mathematical Monthly, '101 (5) (1994), 450–452.
↑ Fichtenholz 1966 ↓, s. 239.
1 2 3 4 Fichtenholz 1966 ↓, s. 240.
↑ Kuratowski 1967 ↓, s. 49.

Bibliografia

Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. T. 2. Warszawa: PWN, 1966.
Kazimierz Kuratowski: Rachunek różniczkowy i całkowy. Funkcje jednej zmiennej. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1967.
Karl R. Stromberg: An Introduction to Classical Real Analysis. Providence, Rhode Island: AMS Chelsea Publishing, 2015. ISBN 978-1-4704-2544-9.

Linki zewnętrzne

Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Kummer's Test, [w:] MathWorld, Wolfram Research (ang.). [dostęp 2025-07-15].
Kummer criterion (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-15].

[CITEREFStromberg2015406-1] 1 2 3 4 Stromberg 2015 ↓, s. 406.

[2] E. E. Kummer, Über die Convergenz und Divergenz der unendlichen Reihen, Journal für die reine und angewandte Mathematik 13, 171–184.

[3] J. Tong, Kummer’s test gives characterizations for convergence or divergence of all positive series, The American Mathematical Monthly, '101 (5) (1994), 450–452.

[CITEREFFichtenholz1966239-4] Fichtenholz 1966 ↓, s. 239.

[CITEREFFichtenholz1966240-5] 1 2 3 4 Fichtenholz 1966 ↓, s. 240.

[CITEREFKuratowski196749-6] Kuratowski 1967 ↓, s. 49.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]