Rozkład beta

Wartość oczekiwana (średnia) rozkładu beta zależy od stosunku parametrów ${\displaystyle \beta }$ i ${\displaystyle \alpha }$^[1][2]:

${\displaystyle \mu =E(X)={\frac {1}{1+\beta /\alpha }}}$

Dowód:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu =E(X)&=\int _{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx=\int _{0}^{1}x\,{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\mathrm {B} (\alpha ,\beta )}}\,dx\\&={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}={\frac {1}{1+\beta /\alpha }}\end{aligned}}}$

Dyskusja:

(1) Jeżeli ${\displaystyle \alpha =\beta ,}$ to rozkład jest symetryczny; wtedy ${\displaystyle \mu ={\tfrac {1}{2}}.}$

(2) Jeżeli ${\displaystyle \beta /\alpha \to +\infty }$, to rozkład staje się prawostronnie skośny oraz ${\displaystyle \mu \to 0.}$

(3) Jeżeli ${\displaystyle \beta /\alpha \to 0}$, to rozkład staje się lewostronnie skośny oraz ${\displaystyle \mu \to 1.}$

Wariancja rozkładu beta zależy od parametrów ${\displaystyle \alpha }$ i ${\displaystyle \beta }$^[1][2]:

${\displaystyle \operatorname {var} (X)=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}}$

Dyskusja:

(1) Jeżeli oba parametry są równe, ${\displaystyle \alpha =\beta }$, to ${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\frac {1}{4(2\beta +1)}}}$

(2) Jeżeli ${\displaystyle \alpha =\beta \to 0,}$ to wariancja rozkładu dąży do maksymalnej możliwej wartości ${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\tfrac {1}{4}}}$.

(3) Jeżeli ${\displaystyle \alpha =\beta =1}$, to rozkład jest jednostajny o typowej dla niego wariancji równej ${\displaystyle \operatorname {var} (X)={\tfrac {1}{12}}.}$

(4) Jeżeli ${\displaystyle \alpha \to 0}$ przy ustalonym ${\displaystyle \beta }$ (lub symetrycznie ${\displaystyle \beta \to 0}$ przy ustalonym ${\displaystyle \alpha \to 0}$), to wariancja dąży do zera.

Wartość, dla której gęstość prawdopodobieństwa osiąga ekstremum, jest określona wzorem^[2]:

${\displaystyle {\text{Mo}}={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}$,

Warunki i interpretacja:

(1) Unimodalność: Rozkład posiada unikalną dominantę (modę) wewnątrz przedziału ${\displaystyle (0;1)}$ wyłącznie wtedy, gdy zarówno ${\displaystyle \alpha >1}$, jak i ${\displaystyle \beta >1}$^[3].

(2) Minimum (Rozkład U-kształtny): Jeżeli oba parametry mieszczą się w przedziale ${\displaystyle (0;1)}$, powyższy wzór wskazuje minimum gęstości, a rozkład przyjmuje kształt litery U^[4].

(3) Kształt litery J: Gdy jeden parametr jest większy od 1, a drugi mniejszy, funkcja jest monotoniczna (ma kształt litery J), a ekstremum wypada na jednym z końców przedziału^[3].

Momenty zwykłe zmiennej losowej o rozkładzie beta wynoszą:

${\displaystyle \mathbb {E} (X^{k})={\frac {\alpha (\alpha +1)\dots (\alpha +k-1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)\dots (\alpha +\beta +k-1)}}}$, ${\displaystyle \quad k=0,1,\dots }$

Bazując na właściwościach funkcji gamma, powyższą zależność można zapisać w bardziej zwartej formie^[4]:

${\displaystyle \mathbb {E} (X^{k})={\frac {\Gamma (\alpha +k)\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta +k)\Gamma (\alpha )}}}$