Rozkład gamma

Rozkład gamma

Gęstość prawdopodobieństwa
Dystrybuanta
Parametry	${\displaystyle k>0}$ parametr kształtu (liczba rzeczywista) ${\displaystyle \theta >0}$ parametr skali (liczba rzeczywista)
Nośnik	${\displaystyle x\in [0;\infty )}$
Gęstość prawdopodobieństwa	${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}}$
Dystrybuanta	${\displaystyle {\frac {\gamma (k,{\frac {x}{\theta }})}{\Gamma (k)}}}$
Wartość oczekiwana (średnia)	${\displaystyle k{\theta }}$
Moda	${\displaystyle {(k-1)}{\theta }{\text{ dla }}k\geqslant 1}$
Wariancja	${\displaystyle k{\theta ^{2}}}$
Współczynnik skośności	${\displaystyle {\frac {2}{\sqrt {k}}}}$
Kurtoza nadwyżkowa (eksces)	${\displaystyle {\frac {6}{k}}}$
Entropia	${\displaystyle k+\ln \theta +\ln \Gamma (k)}$ ${\displaystyle +(1-k)\psi (k)}$
Funkcja tworząca momenty	${\displaystyle (1-{\,\theta \,t})^{-k}{\text{ dla }}t<{\frac {1}{\theta }}}$
Funkcja charakterystyczna	${\displaystyle (1-{\,\theta \,i\,t})^{-k}}$
Odkrywca	Weatherburn (1946)

Rozkład gamma – ciągły rozkład prawdopodobieństwa, którego gęstość dana jest wzorem^[1][2]

${\displaystyle f(x;k,\theta )={\begin{cases}0&{\text{ dla }}\,x<0,\\{\frac {1}{\Gamma (k)\theta ^{k}}}x^{k-1}e^{-{\frac {x}{\theta }}}&{\text{ dla }}\,x\geqslant 0\end{cases}}}$

lub, według równoważnej alternatywnej parametryzacji^[3],

${\displaystyle f(x;k,b)={\begin{cases}0&{\text{ dla }}\,x<0,\\{\frac {b^{k}}{\Gamma (k)}}x^{k-1}e^{-bx}&{\text{ dla }}\,x\geqslant 0,\end{cases}}}$

gdzie:

• ${\displaystyle k,b,\theta }$ – dodatnie liczby rzeczywiste, parametry rozkładu, przy czym ${\displaystyle b=1/\theta }$,
• ${\displaystyle \Gamma }$ – funkcja gamma.

Parametr ${\displaystyle k}$ nazywany jest parametrem kształtu^[4], a parametr ${\displaystyle \theta }$ parametrem skali.

Przypadkiem szczególnym rozkładu gamma przy ${\displaystyle k=1}$ jest rozkład wykładniczy

${\displaystyle f(x;b)={\begin{cases}0&{\text{ dla }}\,x<0,\\be^{-bx}&{\text{ dla }}\,x\geqslant 0.\end{cases}}}$

Rozkład gamma stanowi uogólnienie rozkładu Erlanga, pozwalające na przyjmowanie przez parametr kształtu dowolnych wartości rzeczywistych dodatnich, a nie wyłącznie liczb całkowitych.

Wartość oczekiwana i wariancja rozkładu gamma dane są wzorami^[5]

${\displaystyle E(X)=k\theta ={\frac {k}{b}}}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=k\theta ^{2}={\frac {k}{b^{2}}}}$

Funkcja charakterystyczna rozkładu gamma dana jest wzorem^[2][5]

${\displaystyle \varphi (t)=\left(1-\theta it\right)^{-k}=\left(1-{\frac {it}{b}}\right)^{-k}}$

gdzie ${\displaystyle i}$ – jednostka urojona.

Tw. 1 Jeżeli zmienne losowe ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$ są niezależne, przy czym zmienna losowa ${\displaystyle X_{j}}$ ma rozkład gamma o parametrach ${\displaystyle k=k_{j}}$ oraz ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle (j=1,2,\dots ,n)}$, to zmienna losowa ${\displaystyle X=X_{1}+X_{2}+\dots +X_{n}}$ ma rozkład gamma o parametrach ${\displaystyle k=k_{1}+k_{2}+\dots +k_{n}}$ oraz b^[5].

Wniosek. Suma ${\displaystyle n}$ niezależnych zmiennych losowych, z których każda ma ten sam rozkład wykładniczy, ma rozkład gamma o parametrach ${\displaystyle k=n}$ oraz ${\displaystyle b}$^[5], tj. rozkład

${\displaystyle f(x;n,b)={\begin{cases}0&{\text{ dla }}\,x<0,\\{\frac {b^{n}}{\Gamma (n)}}x^{n-1}e^{-bx}&{\text{ dla }}\,x\geqslant 0.\end{cases}}}$

• funkcja Γ
• rozkład Erlanga
• rozkład wykładniczy

• Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań, Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe.
• W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski, Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998, cz. I Rachunek prawdopodobieństwa.
• C.E. Weatherburn: A First Course in Mathematical Statistics. Cambridge: Cambridge University Press, 1946. (Rozkład po raz pierwszy wprowadzony został w tej pracy.)