rozkład 𝜒
Gęstość prawdopodobieństwa
Parametry
A , B , ν
Gęstość prawdopodobieństwa
f
(
x
)
=
(
x
−
A
B
)
ν
−
1
e
−
1
2
(
x
−
A
B
)
2
2
ν
2
−
1
B
Γ
(
ν
2
)
{\displaystyle f(x)={\frac {\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{\nu -1}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}}}{2^{{\frac {\nu }{2}}-1}B\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}
Dystrybuanta
F
(
x
)
=
Γ
(
ν
2
,
1
2
(
x
−
A
B
)
2
)
{\displaystyle F(x)=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}\right)}
Wartość oczekiwana (średnia)
A
+
2
B
Γ
(
ν
+
1
2
)
Γ
(
ν
2
)
{\displaystyle A+{\frac {{\sqrt {2}}B\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}}
Mediana
nie może być wyrażona za pomocą funkcji elementarnych
Moda
A
+
B
ν
−
1
{\displaystyle A+B{\sqrt {\nu -1}}}
Wariancja
B
2
[
ν
−
2
Γ
2
(
ν
+
1
2
)
Γ
2
(
ν
2
)
]
{\displaystyle B^{2}\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]}
Współczynnik skośności
2
[
4
Γ
3
(
ν
+
1
2
)
+
Γ
2
(
ν
2
)
(
2
Γ
(
ν
+
3
2
)
−
3
ν
Γ
(
ν
+
1
2
)
)
]
Γ
3
(
ν
2
)
[
ν
−
2
Γ
2
(
ν
+
1
2
)
Γ
2
(
ν
2
)
]
3
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\left[4\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)+\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left(2\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)-3\nu \Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right)\right]}{\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]^{\frac {3}{2}}}}}
Kurtoza nadwyżkowa (eksces)
2
ν
(
1
−
ν
)
Γ
4
(
ν
2
)
−
24
Γ
4
(
ν
+
1
2
)
[
ν
Γ
2
(
ν
2
)
−
2
Γ
2
(
ν
+
1
2
)
]
2
+
{\displaystyle {\frac {2\nu (1-\nu )\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-24\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}+}
+
8
(
2
ν
−
1
)
Γ
2
(
ν
2
)
Γ
2
(
ν
+
1
2
)
[
ν
Γ
2
(
ν
2
)
−
2
Γ
2
(
ν
+
1
2
)
]
2
{\displaystyle +{\frac {8(2\nu -1)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}}
Rozkład chi (rozkład
χ
{\displaystyle \chi }
rozkład prawdopodobieństwa określony dla zmiennych rzeczywistych.
Funkcja gęstości prawdopodobieństwa tego rozkładu dana jest wzorem:
f
ν
,
A
,
B
(
x
)
=
{
(
x
−
A
B
)
ν
−
1
e
−
1
2
(
x
−
A
B
)
2
2
ν
2
−
1
B
Γ
(
ν
2
)
,
x
⩾
A
0
,
x
<
A
{\displaystyle f_{\nu ,A,B}(x)={\begin{cases}{\frac {\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{\nu -1}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}}}{2^{{\frac {\nu }{2}}-1}B\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}},&\ x\geqslant A\\0,&x<A\end{cases}}}
gdzie:
ν
,
A
,
B
{\displaystyle \nu ,A,B}
ν
=
1
,
2
,
3
,
…
{\displaystyle \nu =1,2,3,\dots }
liczba stopni swobody
A
∈
R
{\displaystyle A\in R}
B
∈
R
{\displaystyle B\in R}
Γ
{\displaystyle \Gamma }
funkcja gamma Gdy
A
=
0
,
B
=
1
{\displaystyle A=0,B=1}
[ 1]
f
ν
(
x
)
=
{
x
ν
−
1
e
−
x
2
/
2
2
ν
/
2
−
1
Γ
(
ν
2
)
,
x
⩾
0
0
,
x
<
0
{\displaystyle f_{\nu }(x)={\begin{cases}{\dfrac {x^{\nu -1}e^{-x^{2}/2}}{2^{\nu /2-1}\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}},&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}}}
Wykres rozkładu chi dla ν = 7 oraz różnych parametrów przesunięcia (A) i skali (B). Przekształcenie dane jest wzorem:
f
(
x
)
=
1
B
f
0
(
x
−
A
B
)
{\displaystyle f(x)={\frac {1}{B}}f_{0}\left({\frac {x-A}{B}}\right)}
f
0
{\displaystyle f_{0}}
Dystrybuanta
Dystrybuanta rozkładu chi ma postać:
F
(
x
)
=
Γ
(
ν
2
,
1
2
(
x
−
A
B
)
2
)
,
x
⩾
A
{\displaystyle F(x)=\Gamma \left({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-A}{B}}\right)^{2}\right),\quad x\geqslant A}
Skośność rozkładu chi ma postać:
2
[
4
Γ
3
(
ν
+
1
2
)
+
Γ
2
(
ν
2
)
(
2
Γ
(
ν
+
3
2
)
−
3
ν
Γ
(
ν
+
1
2
)
)
]
Γ
3
(
ν
2
)
[
ν
−
2
Γ
2
(
ν
+
1
2
)
Γ
2
(
ν
2
)
]
3
2
{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\left[4\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)+\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left(2\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)-3\nu \Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right)\right]}{\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]^{\frac {3}{2}}}}}
Kurtoza
Kurtoza rozkładu chi ma postać:
2
ν
(
1
−
ν
)
Γ
4
(
ν
2
)
−
24
Γ
4
(
ν
+
1
2
)
[
ν
Γ
2
(
ν
2
)
−
2
Γ
2
(
ν
+
1
2
)
]
2
+
8
(
2
ν
−
1
)
Γ
2
(
ν
2
)
Γ
2
(
ν
+
1
2
)
[
ν
Γ
2
(
ν
2
)
−
2
Γ
2
(
ν
+
1
2
)
]
2
{\displaystyle {\frac {2\nu (1-\nu )\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-24\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}+{\frac {8(2\nu -1)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}}
Jeśli zmienna losowa
X
{\displaystyle X}
rozkład chi-kwadrat , to zmienna losowa
X
{\displaystyle {\sqrt {X}}}
Twierdzenie graniczne
Zmienna losowa o rozkładzie chi o
n
{\displaystyle n}
N
(
n
,
σ
2
=
1
2
)
{\displaystyle N({\sqrt {n}},\sigma ^{2}={\tfrac {1}{2}})}
n
{\displaystyle n}
[ 4]
Bibliografia
Lech T. Kubik, Andrzej Krupowicz, Wprowadzenie do rachunku prawdopodobieństwa i jego zastosowań , Warszawa 1982, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, str. 178-179.
Rozkłady statystyczne
Rozkłady ciągłe
Rozkłady dyskretne
![{\displaystyle B^{2}\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9aad4d6f4a2afe31660064f221562081f8accfa7.svg)
![{\displaystyle {\frac {{\sqrt {2}}\left[4\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)+\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left(2\Gamma \left({\frac {\nu +3}{2}}\right)-3\nu \Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right)\right]}{\Gamma ^{3}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\left[\nu -{\frac {2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\right]^{\frac {3}{2}}}}}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ce69ba66d5c37168808887c356009f20206ca37a.svg)
![{\displaystyle {\frac {2\nu (1-\nu )\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-24\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}+}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f38cae09627de3f2065b670e153e31bea417c0c5.svg)
![{\displaystyle +{\frac {8(2\nu -1)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2402e534ef694a1d0d26af95abc92d91ff0101b.svg)
![{\displaystyle {\frac {2\nu (1-\nu )\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-24\Gamma ^{4}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}+{\frac {8(2\nu -1)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)}{\left[\nu \Gamma ^{2}\left({\frac {\nu }{2}}\right)-2\Gamma ^{2}\left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\right]^{2}}}}](./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/997465ea2af2b403c804facadda1b96398714827.svg)
