Deltoida

Deltoida – krzywa płaska konstruowana toczeniem okręgu wewnątrz innego okręgu, trzykrotnie szerszego^[1][2][3]. Jeśli ${\displaystyle r}$ to promień toczonego okręgu, a ${\displaystyle R}$ – okręgu zewnętrznego, to ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}=3.}$

Deltoida jest przykładem – czyli szczególnym przypadkiem – hipocykloidy i przez to krzywej cyklicznej. Pierwszy opis deltoidy pochodzi z XVIII wieku, kiedy Leonhard Euler rozważał ją w kontekście optyki^[1][4][5].

• Obwód (długość krzywej)^[1][4][5]:

${\displaystyle L=16r={\frac {16}{3}}R}$

• Pole powierzchni^[1][4][5]:

${\displaystyle S=2\pi r^{2}={\frac {2}{9}}\pi R^{2}}$

• Równanie współrzędnych kartezjańskich^[1][5]:

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+12rx+9r^{2})^{2}=4r(2x+3r)^{3}}$

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+4Rx+R^{2})^{2}={\frac {4}{3}}R(2x+R)^{3}}$

• Równanie parametryczne tych współrzędnych^[1][4][5]:

${\displaystyle {\begin{cases}x=r(2\cos t+\cos 2t)\\y=r(2\sin t-\sin 2t)\end{cases}}}$

• Ewoluta i ewolwenta deltoidy także są deltoidami^[6][7].

• Delta (litera)

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Deltoid Catacaustic, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-03-10].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Deltoid Pedal Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-03-10].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Deltoid Radial Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-03-10].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Steiner Deltoid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-03-10].
• Steiner curve (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-19].