Krzywa Lissajous

Krzywa Lissajous, wym. [lisaʒu], figury Lissajous bądź Bowditcha – krzywa parametryczna wykreślona przez punkt materialny wykonujący drgania harmoniczne w dwóch wzajemnie prostopadłych kierunkach^[1].

Dana jest równaniem parametrycznym:

${\displaystyle {\begin{cases}x(t)=A\sin(at+\delta )\\[2pt]y(t)=B\sin(bt)\end{cases}}}$

Nazwy pochodzą od nazwisk Nathaniela Bowditcha, który opisał rodzinę tych krzywych w 1799, oraz Jules’a Antoine’a Lissajous, który badał je używając do tego drgających kamertonów z umocowanymi do nich zwierciadełkami.

Kształt krzywych jest szczególnie uzależniony od współczynnika ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.}$ Dla współczynnika równego 1, krzywa jest elipsą, ze specjalnymi przypadkami okrąg:

${\displaystyle A=B,\delta ={\tfrac {\pi }{2}}}$ (zob. pi i radian),

oraz odcinek:

${\displaystyle \delta =0.}$

Inne wartości współczynnika dają bardziej złożone krzywe, które są zamknięte, tylko gdy ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$ jest liczbą wymierną.

Jedną z metod uzyskiwania krzywych Lissajous jest podanie na wejścia oscyloskopu, pracującego w trybie ${\displaystyle XY,}$ dwóch sygnałów sinusoidalnych o częstotliwościach pozostających w stosunku ${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}.}$ Ciekawy efekt uzyskuje się również, gdy stosunek tych częstotliwości jest minimalnie różny od ilorazu dwóch niskich liczb naturalnych: dzięki płynnej zmianie fazy (parametru ${\displaystyle \delta }$) uzyskuje się iluzję trójwymiarowego obrotu krzywej. W najprostszym przypadku, gdy ${\displaystyle a\approx b,}$ uzyskuje się efekt „obracającej się monety”.

Inną metodą jest wykorzystanie wahadła o specjalnej konstrukcji. Wahadło takie posiada dwie różne efektywne długości (w prostopadłych do siebie płaszczyznach), więc generuje drgania złożone^[2][3].

Krzywe Lissajous są także czasem wykorzystywane w projektach graficznych jako element logo (np. w Australian Broadcasting Corporation).

Poniżej zamieszczono przykłady krzywych^[4] Lissajous o parametrach ${\displaystyle \delta ={\tfrac {\pi }{2}},}$ ${\displaystyle a}$ – nieparzyste, ${\displaystyle b}$ – parzyste, ${\displaystyle |a-b|=1.}$

Pokazany niżej kod w Python kreśli krzywe Lissajous o parametrach: ${\displaystyle a,b}$ - częstotliwości drgań odpowiednio w poziomie i pionie, ${\displaystyle d}$ – różnica faz. Długość krzywej zależy od zadanego zakresu parametru ${\displaystyle t}$ (tu ustalono ${\displaystyle t\in [-2,20]}$ ); im dłuższa krzywa, tym trzeba zadać więcej wartości ${\displaystyle t}$, aby wykres krzywej był gładki.

Do uruchomienia programu potrzebne są biblioteki numpy i matplotlib, które udostępniają online np.Jupyter Notebook czy Google Colab.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# dane
t = np.linspace(-2, 20, 10000) # parametr t[-2,20]; 10000 punktów
a = 9        
b = 8.9      
d = np.pi/2  
print("Różnica faz  =", d,"[rad]")

x = np.sin(a*t)
y = np.sin(b*t+d)

# wykresy
plt.plot(y, x, label=f"a={a}, b={b}")
plt.title(f"Krzywe Lissajous a={a}, b={b}", fontsize=24)
plt.xlabel("x", fontsize=20)
plt.ylabel("y", fontsize=20)
plt.grid()

plt.show()

• długość krzywej
• lista krzywych

• Josep Sales, Francesc Banyuls: Niebezpieczne krzywe. Elipsy, hiperbole i inne geometryczne cuda. Przełożyła Hanna Jezierska. Barcelona: RBA, 2012, s. 109–112, seria: Świar jest matematyczny. ISBN 978-84-473-7545-5.

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Lissajous Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
• Lissajous Curves (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].