Hipocykloida

przykładowe hipocykloidy, m.in. deltoida ${\displaystyle \left({\frac {R}{r}}=3\right)}$ i astroida ${\displaystyle \left({\frac {R}{r}}=4\right)}$

Hipocykloida – krzywa płaska, jaką zakreśla ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu wewnątrz okręgu o większym promieniu. Krzywa ta jest szczególnym przypadkiem hipotrochoidy.

Kształt hipocykloidy (liczba ostrzy) zależy od ilorazu ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}}$ promieni okręgów, nieruchomego do toczącego się.

Hipocykloidę najłatwiej opisać równaniami parametrycznymi^[1]:

${\displaystyle x=(R-r)\cos(t)+r\cos \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right),}$

${\displaystyle y=(R-r)\sin(t)-r\sin \left({\frac {R-r}{r}}\,t\right).}$

Poniższe rysunki pokazują kilka hipocykloid dla różnych ilorazów ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}.}$

Astroida

Hipocykloida ${\displaystyle {\tfrac {R}{r}}=4}$ (zwana też asteroidą lub astroidą^[5]) – powstawanie i krzywa statycznie:

• cykloida
• epicykloida
• lista krzywych

O hipocykloidach ogółem:

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypocycloid, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypocycloid Evolute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypocycloid Involute, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Hypocycloid Pedal Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Hypocycloid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-07-19].
• Hypocycloid (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].

O astroidach:

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Astroid, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Astroid Pedal Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Astroid Radial Curve, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-01-18].
• Astroid (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2025-04-23].
• Astroid (ang.), MacTutor History of Mathematics archive – University of St Andrews, mathshistory.st-andrews.ac.uk [dostęp 2026-01-18].